《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

26.（月考·22 - 23西安铁一中）（10分）
(1)问题探究：已知$a + b = 3$，$ab = 2$，可利用完全平方公式得$a^{2}+b^{2}$=________.
(2)自主推导：$(a + b + c)^{2}$=________________.
根据上面的公式计算：已知$a + b + c = 6$，$ab + bc + ac = 11$，求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$=________.
(3)问题解决：已知$a + b + c = 0$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}= 6$，求$a^{4}+b^{4}+c^{4}$的值.
　

答案： 【解】
(1)5
(2)$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$ 14
分析：$(a + b + c)^{2}=[(a + b)+c]^{2}=(a + b)^{2}+2(a + b)c + c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab + 2ac + 2bc + c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$.
因为$a + b + c = 6$，$ab + bc + ac = 11$，
所以$36=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab + bc + ac)$，
即$36=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\times 11$，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$.
(3)因为$a + b + c = 0$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=6$，
所以$0^{2}=6+2(ab + bc + ac)$，所以$ab + bc + ac=-3$.
因为$a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2[(ab + bc + ac)^{2}-2abc(a + b + c)]$，
所以$a^{4}+b^{4}+c^{4}=6^{2}-2\times[(-3)^{2}-2abc\times 0]=18$.
故$a^{4}+b^{4}+c^{4}$的值是 18.