《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

14.(期末·21 - 22西安交大附中改编)
　　综合与实践:某数学活动小组在探究三角形时,提出了如下数学问题.
　　问题提出:(1)已知:平面内三个点A,B,C,AB = 5,AC = 3,BC的长度的最小值为________.
　　问题解决:(2)已知:如图所示,在△BDC中,BD = 4,CD = 2,以BC为底边向上构造等腰△ABC,AB = AC,连接AD,以AD为腰向外构造等腰△ADE,使AD = AE,∠BAC =∠DAE,连接CE,线段DE的长度是否存在最小值? 若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
　　问题应用:(3)在△ABC中,AB = 12,BC = 9,以AC为边作等边△ACD,连接BD,线段BD的长度是否存在最小值?若存在,请直接写出线段BD长度的最小值.
　　　　　　　　　

答案：
[解]
(1)2
(2)线段DE的长度存在最小值. 因为$∠BAC = ∠DAE$，所以$∠BAC+∠CAD = ∠DAE+∠CAD$，即$∠BAD = ∠CAE$. 在$\triangle BAD$与$\triangle CAE$中，$AB = AC$，$∠BAD = ∠CAE$，$AD = AE$，所以$\triangle BAD\cong\triangle CAE(SAS)$，所以$CE = BD = 4$. 由
(1)的结论可得当点D在线段CE上时，DE的最小值为$CE - CD = 4 - 2 = 2$.
(3)存在，BD长度的最小值为3. 分析：Ⅰ. 如图①，以AC为边向右作等边$\triangle ACD$，在BC的上方作等边$\triangle BCE$，连接DE，则$AC = CD$，$∠ACD = 60^{\circ}$，$BE = CE = BC = 9$，$∠BCE = ∠BEC = 60^{\circ}$，所以$∠ACD+∠ACE = ∠BCE+∠ACE$，即$∠ECD = ∠BCA$. 在$\triangle ECD$与$\triangle BCA$中，$CD = CA$，$∠ECD = ∠BCA$，$CE = CB$，所以$\triangle ECD\cong\triangle BCA(SAS)$，所以$DE = AB = 12$. 在$\triangle BED$中，$BE = 9$，$DE = 12$，当E，B，D三点共线时，线段BD长度的最小值为$12 - 9 = 3$. Ⅱ. 如图②，以AC为边向左作等边$\triangle ACD$，在BC的上方作等边$\triangle BCE$，所以$BE = EC = BC = 9$. 连接AE，同理可得$\triangle BDC\cong\triangle EAC$，所以$BD = EA$，当A，E，B三点共线时，线段AE长度的最小值为$12 - 9 = 3$. 故线段BD长度的最小值为3.