《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

23.（期末·22 - 23西安高新三初）（7分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长.
（2）若∠MFN = 70°，求∠MCN的度数.

答案： [解]
(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC,所以AM = CM,BN = CN,
所以△CMN的周长 = CM + MN + CN = AM + MN + BN = AB.
因为△CMN的周长为15 cm,所以AB = 15 cm.
(2)因为∠MFN = 70°,
所以∠MNF + ∠NMF = 180° - ∠MFN = 180° - 70° = 110°.
因为∠AMD = ∠NMF,∠BNE = ∠MNF,
所以∠AMD + ∠BNE = ∠NMF + ∠MNF = 110°,所以∠A + ∠B = 90° - ∠AMD + 90° - ∠BNE = 180° - 110° = 70°,
所以∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 70° = 110°.
因为AM = CM,BN = CN,
所以∠A = ∠ACM,∠B = ∠BCN,所以∠ACM + ∠BCN = 70°,
所以∠MCN = ∠ACB - (∠ACM + ∠BCN) = 110° - 70° = 40°.

24.（期末·23 - 24西安爱知中学）（8分）图①是一个平分角的仪器，其中OD = OE，FD = FE.
（1）如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P，则AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由.
（2）如图③，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ = 5，AC = 8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP:CP的值.

答案：
[解]
(1)AP是∠BAC的平分线,理由如下:
在△ADF和△AEF中,AD = AE,FD = FE,AF = AF,
所以△ADF ≌△AEF(SSS),
所以∠DAF = ∠EAF,所以AP平分∠BAC.
(2)如图,过点P作PG⊥AC于
点G.
因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
PG⊥AC,
所以PG = PQ = 5.
因为S△ABC = S△ABP + S△APC = $\frac{1}{2}$AB·PQ + $\frac{1}{2}$AC·PG,
所以$\frac{1}{2}$AB×5 + $\frac{1}{2}$×8×5 = 45.
所以AB = 10.
设三角形ABC的BC边上的高为h,
因为S△ABP = $\frac{1}{2}$AB·PQ = $\frac{1}{2}$×10×5 = $\frac{1}{2}$BP·h = 25,
S△APC = $\frac{1}{2}$AC·PG = $\frac{1}{2}$×8×5 = $\frac{1}{2}$CP·h = 20,
所以$\frac{1}{2}$BP·h / $\frac{1}{2}$CP·h = 25/20,即BP/CP = 5/4,所以BP : CP的值为5/4.