《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

30. (月考·22 - 23 西安交大附中)若$a^{2}+ab + b^{2}+A=(a - b)^{2}$，则$A$等于(　　　)
　　
A. $-3ab$　　
　B. $-2ab$　　　
　C. $ab$　　　　
　D. $2ab$

答案： A[解析]因为$a^{2}+ab + b^{2}+A=(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，所以$A=a^{2}-2ab + b^{2}-a^{2}-ab - b^{2}=-3ab$.故选A.

31. 已知$a = 222x + 222$，$b = 222x + 220$，$c = 222x + 224$，则多项式$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$的值为(　　　)
　　
A. 0　　　　
　B. 3　　　　　
　C. 6　　　　　
　D. 12

答案： D[解析]因为$a = 222x + 222$，$b = 222x + 220$，$c = 222x + 224$，所以$a - b = 2$，$a - c=-2$，$b - c=-4$，所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab - 2bc - 2ac}{2}=\frac{(a - b)^{2}+(a - c)^{2}+(b - c)^{2}}{2}=\frac{2^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}}{2}=\frac{4 + 4+16}{2}=12$.故选D.

32. (月考·23 - 24 西安滨河学校)已知$x - 1=\frac{y + 1}{2}$，则代数式$x^{2}+x+(y - 1)^{2}+\frac{21}{4}$有(　　　)
　　
A. 最大值10B. 最小值$\frac{85}{4}$　　C. 最小值10　　D. 最大值$\frac{85}{4}$

答案： C[解析]因为$x - 1=\frac{y + 1}{2}$，所以$y = 2x - 3$，所以$x^{2}+x+(y - 1)^{2}+\frac{21}{4}=x^{2}+x+(2x - 3 - 1)^{2}+\frac{21}{4}=x^{2}+x + 4x^{2}-16x + 16+\frac{21}{4}=5x^{2}-15x+\frac{85}{4}=5\left(x^{2}-3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{85}{4}-\frac{45}{4}=5\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+10$.因为$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}\geqslant0$，所以$5\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+10\geqslant10$，所以当$x=\frac{3}{2}$时，代数式$x^{2}+x+(y - 1)^{2}+\frac{21}{4}$有最小值10.故选C.

33. (期末·22 - 23 西工大附中)若$a^{2}+b^{2}=21$，$(a - b)^{2}=7$，则$(a + b)^{2}$的值为________．

答案： 35[解析]因为$(a - b)^{2}=7$，所以$a^{2}-2ab + b^{2}=7$.因为$a^{2}+b^{2}=21$，所以$21-2ab = 7$，所以$ab = 7$，所以$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab = 21+2×7 = 35$.故答案为35.

34. (月考·22 - 23 西安铁一中)如图,长方形$ABCD$的周长是$12cm$，以$AB$，$BC$为边向外作正方形$ABGH$和正方形$BCEF$，如果正方形$ABGH$和正方形$BCEF$的面积之和为$18cm^{2}$，那么长方形$ABCD$的面积是________$cm^{2}$．
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 9[解析]根据已知可得$AB + BC = 6cm$，$AB^{2}+BC^{2}=18cm^{2}$，所以$AB\cdot BC=\frac{(AB + BC)^{2}-(AB^{2}+BC^{2})}{2}=\frac{6^{2}-18}{2}=9(cm^{2})$，所以长方形$ABCD$的面积是$9cm^{2}$.故答案为9.

35. (期中·22 - 23 西安滨河学校)请阅读以下材料,并解决问题:配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常被用到代数恒等变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题。
　例:已知$m^{2}+4m + n^{2}-6n + 13 = 0$，求$m$，$n$的值。
　解:由已知得$(m^{2}+4m + 4)+(n^{2}-6n + 9)=0$，
　　即$(m + 2)^{2}+(n - 3)^{2}=0$，
　所以$m + 2 = 0$，$n - 3 = 0$，所以$m = -2$，$n = 3$。
　　已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}-4a - 10b + 29 = 0$。
　(1)若$c$为正整数,求$c$的值;
　(2)若$\triangle ABC$是等腰三角形,求这个三角形的周长。

答案： [解]
(1)因为$a^{2}+b^{2}-4a - 10b + 29 = 0$，所以$a^{2}-4a + 4+b^{2}-10b + 25 = 0$.所以$(a - 2)^{2}+(b - 5)^{2}=0$.所以$a - 2 = 0$，$b - 5 = 0$.解得$a = 2$，$b = 5$.所以根据三角形三边关系得$3＜c＜7$.因为$c$为正整数，所以$c$的值为4，5，6.
(2)当$\triangle ABC$是等腰三角形时，$a = 2$，$b = c = 5$，此时该三角形的周长为$2 + 5+5 = 12$.