《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

15. (2025·宜宾)如图，扇形 OPN 为某运动场内的投掷区，$\overset{\frown}{PN}$所在圆的圆心为点 O，点 A，B，N，O 在同一直线上。直线 AP 与$\overset{\frown}{PN}$所在圆（即⊙O）相切于点 P，此时测得$\angle PAO = 45^{\circ}$。从点 A 处沿 AO 方向前进 8 m 到达点 B 处。直线 BQ 与$\overset{\frown}{PN}$所在圆（即⊙O）相切于点 Q，此时测得$\angle QBO = 60^{\circ}$。求（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\pi \approx 3.14$）：
(1) 圆心角$\angle PON$的度数；
(2) $\overset{\frown}{PN}$的长（结果精确到 0.1 m）。

答案： 15.
(1)
∵直线AP与PN所在圆(即⊙O)相切于点P，
∴∠APO=90°.
∵∠PAO=45°，
∴∠PON=90°−∠PAO = 45°
(2)
∵直线BQ与PN所在圆(即⊙O)相切于点Q，
∴∠BQO=90°.
∵∠QBO=60°，
∴cos∠QBO = cos60° = $\frac{BQ}{BO}$ = $\frac{1}{2}$.设BQ = x m，则BO = 2x m.
∴OQ = OP = $\sqrt{BO^{2}-BQ^{2}}$ = $\sqrt{3}x$ m.
∵AB = 8 m，
∴AO = AB + BO = (8 + 2x) m.
∵在Rt△APO中，∠A = 45°，
∴sinA = sin45° = $\frac{PO}{AO}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x}{8 + 2x}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得x = 4$\sqrt{6}$ + 8.
∴OP = $\sqrt{3}$×(4$\sqrt{6}$ + 8) = (12$\sqrt{2}$ + 8$\sqrt{3}$) m.
∴PN的长为$\frac{45π×(12\sqrt{2} + 8\sqrt{3})}{180}$≈24.1(m)

16. (2025·江西)点 A，B，C 在⊙O 上，$\angle ACB = 35^{\circ}$，以 BA，BC 为边作$□ ABCD$。
(1) 当 BC 经过圆心 O 时（如图①），求$\angle D$的度数；
(2) 当 AD 与⊙O 相切时（如图②），若⊙O 的半径为 6，求$\overset{\frown}{AC}$的长。

答案： 16.
(1)
∵BC经过圆心O，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°.
∵∠ACB = 35°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D = ∠B = 90°−∠ACB = 55°
(2)连接OA，OC.
∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6，
∴AD⊥OA，OA = OC = 6.
∴∠OAD = 90°.
∵在▱ABCD中，AD//BC，
∴∠CAD = ∠ACB = 35°.
∴∠OCA = ∠OAC = ∠OAD−∠CAD = 55°.
∴∠AOC = 180°−∠OCA−∠OAC = 70°.
∴AC的长为$\frac{70π×6}{180}$ = $\frac{7π}{3}$

17. (2025·内蒙古)如图，AB 是⊙O 的直径，半径$OC \perp AB$，垂足为 O，$OC = 2$，P 是 BA 延长线上的一点，连接 CP，交⊙O 于点 D，连接 AD，$\angle OCP = 60^{\circ}$。过点 P 作⊙O 的切线，切点为 E，交 CO 的延长线于点 F。求：
(1) $\overset{\frown}{CD}$的长；
(2) $\angle DAB$的度数；
(3) $\cos \angle OFP$的值。

答案： 17.
(1)连接OD.
∵OC = OD，∠OCD = 60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD = 60°.
∵OC = 2，
∴CD的长 = $\frac{60π×2}{180}$ = $\frac{2}{3}$π
(2)
∵OC⊥AB，
∴∠AOC = 90°.
∴∠AOD = ∠AOC−∠COD = 30°.
∵OD = OA，
∴∠DAB = ∠ADO = $\frac{1}{2}$×(180°−30°) = 75°
(3)连接OE，
∵PE切⊙O于点E，
∴OE⊥PE.又
∵OF⊥AB，
∴∠POE + ∠OPE = ∠OFP + ∠OPE = 90°.
∴∠POE = ∠OFP.
∵tanC = tan60° = $\frac{PO}{OC}$ = $\frac{PO}{2}$ = $\sqrt{3}$，
∴PO = 2$\sqrt{3}$.
∵OE = OC = 2，
∴cos∠POE = $\frac{OE}{PO}$ = $\frac{2}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴cos∠OFP = cos∠POE = $\frac{\sqrt{3}}{3}$