《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

10. (2025·山东)如图，在平面直角坐标系中，$A$，$C$两点在坐标轴上，四边形$OABC$是面积为$4$的正方形.若函数$y = \frac{k}{x}$($x ＞ 0$)的图象经过点$B$，则满足$y \geq 2$的$x$的取值范围是(A)

A.$0 ＜ x \leq 2$
B.$x \geq 2$
C.$0 ＜ x \leq 4$
D.$x \geq 4$

答案： 10.A

11. (2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$I$(单位：$A$)与电阻$R$(单位：$\Omega$)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻大于$9 \Omega$时，电流可能是(A)

A.$3 A$
B.$4 A$
C.$5 A$
D.$6 A$

答案： 11.A

12. (2025·烟台)如图，菱形$OABC$的顶点$A$在$x$轴正半轴上，$OA = 3$，函数$y = \frac{k}{x}$($x ＞ 0$)的图象过点$C$和菱形的对称中心$M$，则$k$的值为(D)

A.$4$
B.$4\sqrt{2}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$

答案：
12.D解析:
∵菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=3,
∴AM=CM,OC=OA=3,A(3,0).设C(x,y),则M($\frac{x+3}{2}$,$\frac{y}{2}$).
∴xy=$\frac{x+3}{2}$·$\frac{y}{2}$，解得x=1.如图,过点C 作CH⊥AO于点H,则OH=1,CH= $\sqrt{OC²−OH²}$=$\sqrt{3²−1²}$=2$\sqrt{2}$
∴C(1,2$\sqrt{2}$).
∴k=1×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$.
　　　　　　　

13. (2025·宜宾)如图，$O$是坐标原点，函数$y = -\frac{4}{x}$($x ＞ 0$)的图象与直线$y = -2x$交于点$A$，点$B$在函数$y = -\frac{4}{x}$($x ＞ 0$)的图象上，直线$AB$与$y$轴交于点$C$，连接$OB$.若$AB = 3AC$，则$OB$的长为(D)

A.$\sqrt{10}$
B.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\frac{\sqrt{130}}{2}$

答案：
13.D解析:如图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E.
∵函数y=−$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象与直线y=−2x交于点A,
∴联立$\begin{cases} y=-\frac {4} {x}\\ y=-2x \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\sqrt {2}\\ y=-2\sqrt {2} \end{cases}$或$\begin{cases} x=-\sqrt {2}\\ y=2\sqrt {2} \end{cases}$(舍去).
∴A($\sqrt{2}$,-2$\sqrt{2}$).
∴OD=$\sqrt{2}$.
∵AD⊥x轴,BE⊥x轴,
∴AD//BE.
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{DE}{OD}$
∵AB=3AC,
∴3=$\frac{DE}{\sqrt{2}}$,即DE=3$\sqrt{2}$.
∴OE=OD+DE=$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$.将x=4$\sqrt{2}$代入y=−$\frac{4}{x}$,得y=−$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴OB=$\sqrt{OE²+BE²}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$.
　　　　　　

14. (2025·广西)如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”$ABCDEFG$的所有线段均与$x$轴平行或垂直，且满足$BC = DE = FG = 1$，点$A$，$C$，$E$，$G$均在双曲线$y = \frac{k}{x}$的一支上.若点$A$的坐标为$(4,\frac{3}{2})$，则第三级阶梯的高$EF$等于(B)

A.$4$
B.$3$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{5}{2}$

答案： 14.B解析:
∵点A(4,$\frac{3}{2}$)在双曲线y=$\frac{k}{x}$的一支上，
∴k=4×$\frac{3}{2}$=6.
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$.
∵BC=1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A的坐标为(4,$\frac{3}{2}$),
∴点C的横坐标比点A的横坐标小1,即横坐标为3.
∵点C在双曲线y=$\frac{6}{x}$的一支上，
∴当x=3时,y=2,即点C的坐标为(3,2).同理，可得点E的坐标为(2,3)，点G的坐标为(1,6).观察题中图象可知,EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标,即EF=6−3=3.

15. (2025·绥化)如图，函数$y = \frac{k}{x}$($x ＜ 0$)的图象经过$A$，$C$两点，过点$A$作$AB \perp y$轴于点$B$，过点$C$作$CD \perp x$轴于点$D$，连接$OA$，$OC$，$AC$.若$S_{\triangle ACO} = 4$，$CD:OB = 1:3$，则$k$的值是(D)

A.$-12$
B.$-9$
C.$-6$
D.$-3$

答案：
15.D解析:如图,延长DC,BA交于点E.设CD=a(a＞0).
∵CD:OB=1:3,
∴OB=3a.
∵AB⊥y轴,CD⊥x轴,
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a.
∴a=$\frac{k}{x_{C}}$，3a=$\frac{k}{x_{A}}$，
∴$x_{C}=\frac{k}{a}$，$x_{A}=\frac{k}{3a}$，
∴OD=$-\frac{k}{a}$，AB=$-\frac{k}{3a}$.
∵函数y=$\frac{k}{x}$(x＜0)的图象经过A,C两点，
∴$S_{\triangle DOC}=S_{\triangle AOB}=-\frac{k}{2}$.
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°,
∴四边形OBED是矩形,BE=OD=$-\frac{k}{a}$,DE=OB=3a.
∴AE=BE−AB=$-\frac{k}{a}$−($-\frac{k}{3a}$)=$-\frac{2k}{3a}$,CE=DE−CD=3a−a=2a.
∴$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AE· CE=\frac{1}{2}·(-\frac{2k}{3a})·(2a)=-\frac{2k}{3}$.又
∵$S_{矩形OBED}=OD· OB=-\frac{k}{a}·3a=-3k$，$S_{\triangle AOD}=4$，$S_{矩形OBED}-S_{\triangle DOC}-S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AEC}=S_{\triangle AOD}$，
∴$-3k-(-\frac{k}{2})-(-\frac{k}{2})-(-\frac{2k}{3})=4$，解得k=−3.
　　　　　　　

16. (2025·北京)如图，在平面直角坐标系中，$A$，$B$分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形$OACB$是矩形，函数$y = \frac{1}{x}$($x ＞ 0$)的图象与边$AC$交于点$M$，与边$BC$交于点$N$($M$，$N$两点不重合).给出下列四个结论：
① $\triangle COM$与$\triangle CON$的面积一定相等；
② $\triangle MON$与$\triangle MCN$的面积可能相等；
③ $\triangle MON$一定是锐角三角形；
④ $\triangle MON$可能是等边三角形.
其中，正确的是(B)

A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

答案：
16.B解析:根据题意,设点M的坐标为(a,$\frac{1}{a}$),点N的坐标为(b,$\frac{1}{b}$),则A(a,0),B(0,$\frac{1}{b}$),C(a,$\frac{1}{b}$).
∴OB=AC=$\frac{1}{b}$,OA=BC=a,BN=b,AM=$\frac{1}{a}$,CN=a−b,CM=$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$.
∴$S_{\triangle COM}=\frac{1}{2}CM· OA=\frac{1}{2}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})· a=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}$，$S_{\triangle CON}=\frac{1}{2}CN· OB=\frac{1}{2}(a - b)·\frac{1}{b}=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}$，
∴$S_{\triangle COM}=S_{\triangle CON}$.故结论①正确.$S_{\triangle MCN}=\frac{1}{2}CN· CM=\frac{1}{2}(a - b)(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})=\frac{(a - b)^{2}}{2ab}$，$S_{\triangle MON}=S_{矩形OACB}-S_{\triangle OBN}-S_{\triangle OAM}-S_{\triangle MCN}=a·\frac{1}{b}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{(a - b)^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}-b^{2}}{2ab}$.当$\triangle MON$与$\triangle MCN$的面积相等时，$\frac{(a - b)^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}-b^{2}}{2ab}$，即a=b，此时M,N两点重合，与题意不符.故结论②错误.函数y=$\frac{1}{x}$(x＞0)的图象是固定的，但矩形OACB不固定，可通过移动点A，B，得到直角三角形MON(如图①)或钝角三角形MON(如图②).故结论③错误.假设$\triangle MON$是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°，则$OM^{2}=ON^{2}$，即$a^{2}+(\frac{1}{a})^{2}=b^{2}+(\frac{1}{b})^{2}$.整理，得$a^{2}-b^{2}+\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=0$，即$(a^{2}-b^{2})(1-\frac{1}{a^{2}b^{2}})=0$.
∵a≠b (M,N两点不重合)，
∴$1-\frac{1}{a^{2}b^{2}}=0$，
∴$a^{2}b^{2}=1$，
∴ab = 1，
∴$a=\frac{1}{b}$，
∴B(0,a).又
∵A(a,0)，
∴OA=OB.
∴当矩形OACB是正方形，∠AOM=∠BON=15°时，$\triangle MON$是等边三角形(如图③).故结论④正确.综上所述，①④正确