《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

1. (2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(A)

A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等

答案： 1.A

2. (2025·德阳)如图，要使▱$ABCD$是矩形，需要增加的一个条件可以是(D)

A.$AB// CD$
B.$AB = BC$
C.$\angle ABC=\angle CDA$
D.$AC = BD$

答案： 2.D

3. (2025·湖南)如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$互相垂直平分，$AB = 3$，则四边形$ABCD$的周长为(C)

A.6
B.9
C.12
D.18

答案： 3.C

4. (2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹角为$60^{\circ}$，则这个矩形的面积是(B)

A.25
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$

答案： 4.B

5. (2025·德阳)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，将$\triangle ABC$沿$CB$向右平移至$\triangle EGF$处，使$EF$恰好过边$AB$的中点$D$，连接$CD$。若$CD = 1$，则$GE$的长为(B)

A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： 5.B

6. (2025·内蒙古)如图，矩形草坪$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$H$是边$BC$的中点，连接$OH$。若$OH = 20m$，$AD = 30m$，则该草坪的面积为(C)

A.$2400m^{2}$
B.$1800m^{2}$
C.$1200m^{2}$
D.$600m^{2}$

答案： 6.C

7. (2025·广东)如图，在矩形$ABCD$中，$E$，$F$是边$BC$上的三等分点，连接$DE$，$AF$相交于点$G$，连接$CG$。若$AB = 8$，$BC = 12$，则$\tan\angle GCF$的值是(B)

A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 7.B 解析：过点G作GM⊥BC于点M.在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 12，∠B = 90°，
∵ E，F是BC的三等分点，
∴ BE = EF = CF = $\frac{1}{3}$BC = 4.
∴ BF = BE + EF = 8.
∴ AB = BF = 8.
∴ △ABF是等腰直角三角形.
∴ ∠BFA = 45°.同理，△CDE是等腰直角三角形.
∴ ∠CED = 45°.
∴ ∠BFA = ∠CED = 45°.
∴ △GEF是等腰直角三角形.
∵ GM⊥EF，
∴ GM = EM = FM = $\frac{1}{2}$EF = 2.
∴ CM = CF + MF = 4 + 2 = 6.在Rt△GMC中，$\tan\angle GCF = \frac{GM}{CM} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

8. (2025·陕西)如图，正方形$ABCD$的边长为4，$E$为$AB$的中点，点$F$在$AD$上，$EF\perp EC$，则$\triangle CEF$的面积为(C)

A.10
B.8
C.5
D.4

答案： 8.C 解析：
∵ 四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴ AB = BC = 4，∠A = ∠B = 90°.
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE = $\frac{1}{2}$AB = 2.在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE = $\sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$.
∵ ∠B = 90°，EF⊥EC，
∴ ∠BCE + ∠BEC = 90°，∠AEF + ∠BEC = 90°.
∴ ∠AEF = ∠BCE.
∴ △AEF∽△BCE.
∴ $\frac{EF}{CE} = \frac{AE}{BC}$.
∴ EF = $\frac{CE · AE}{BC} = \frac{2\sqrt{5} × 2}{4} = \sqrt{5}$.
∴ △CEF的面积为$\frac{1}{2}CE · EF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = 5$.

9. (2025·自贡)如图，正方形$ABCD$的边长为6，以对角线$BD$为斜边作$Rt\triangle BED$，$\angle E = 90^{\circ}$，点$F$在$DE$上，连接$BF$。若$2BE = 3DF$，则$BF$长的最小值为(D)

A.6
B.$6\sqrt{2}-\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}-2\sqrt{2}$

答案：
9.D 解析：
∵ 2BE = 3DF，
∴ $\frac{BE}{DF} = \frac{3}{2}$.如图，过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，
∴ 易得∠EDB = ∠FMD.
∵ ∠E = ∠MFD = 90°，
∴ △DBE∽△MDF.
∴ $\frac{BD}{DM} = \frac{BE}{DF} = \frac{3}{2}$.
∵ 正方形ABCD的边长为6，
∴ BD = $\sqrt{DC^2 + BC^2} = 6\sqrt{2}$.
∴ DM = $\frac{2}{3}BD = 4\sqrt{2}$.取DM的中点O，
∴ OD = $2\sqrt{2}$.
∴ 点F在以点O为圆心，$2\sqrt{2}$为半径的圆上运动.连接OB，OF.在Rt△BDO中，OB = $\sqrt{OD^2 + BD^2} = 4\sqrt{5}$.
∵ OF + BF ≥ OB，
∴ 当点F在线段OB上，即O，F，B三点共线时，BF的长取得最小值.
∴ BF长的最小值为$OB - OF = 4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$.

10. (2025·泸州)如图，在边长为2的正方形$ABCD$中，$E$为$AB$的中点，$F$为$CE$上的点，且$DF = DC$，则$AF$的长为(B)

A.$\frac{2\sqrt{10}}{9}$
B.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{4\sqrt{10}}{15}$
D.$\frac{4\sqrt{10}}{9}$

答案：
10.B 解析：如图，过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N.
∵ 四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴ AB = BC = CD = 2，∠B = ∠DCB = 90°，CD//AB.
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE = $\frac{1}{2}AB$ = 1.在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE = $\sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{5}$.
∵ ∠DCB = 90°，
∴ ∠DCP + ∠BCE = 90°.
∵ DQ⊥CE，
∴ ∠CDQ + ∠DCP = 90°.
∴ ∠BCE = ∠CDQ. 在△BCE和△CDQ中，
$\begin{cases} \angle BCE = \angle CDQ, \\ BC = CD, \\ \angle B = \angle DCB = 90°, \end{cases}$
∴ △BCE≌△CDQ.
∴ CE = DQ = $\sqrt{5}$,BE = CQ = 1.
∵ DQ⊥CE，∠B = 90°，
∴ ∠CPQ = ∠B = 90°.又
∵ ∠PCQ = ∠BCE，
∴ △CPQ∽△CBE.
∴ $\frac{CP}{CB} = \frac{PQ}{BE} = \frac{CQ}{CE}$.
∴ $\frac{CP}{2} = \frac{PQ}{1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
∴ CP = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$,PQ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴ DP = DQ - PQ = $\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∵ DF = DC，DQ⊥CF，
∴ FP = CP = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴ CF = FP + CP = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∴ EF = CE - CF = $\sqrt{5} - \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
∵ CD//AB，MN⊥AB，
∴ MN⊥CD.
∴ ∠MNC = ∠DCB = ∠B = 90°.
∴ 四边形BCNM是矩形.
∴ MN = BC = 2.由三角形的面积公式，得$S_{\triangle DCF} = \frac{1}{2}CD · FN = \frac{1}{2}CF · DP$，
∴ $\frac{1}{2} × 2 × FN = \frac{1}{2} × \frac{4\sqrt{5}}{5} × \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∴ FN = $\frac{8}{5}$.
∴ FM = MN - FN = $2 - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.在Rt△EFM中，由勾股定理，得EM = $\sqrt{EF^2 - FM^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{5})^2 - (\frac{2}{5})^2} = \frac{1}{5}$.
∴ AM = AE + EM = $1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.在Rt△AFM中，由勾股定理，得AF = $\sqrt{AM^2 + FM^2} = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.