《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

23. (2025·龙东地区)2024 年 8 月 6 日,第十二届世界运动会口号“运动无限,气象万千”在京发布,吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相. 第一中学为鼓励学生积极参加体育活动,准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生. 已知购买 3 个“蜀宝”和 1 个“锦仔”共需 332 元,购买 2 个“蜀宝”和 3 个“锦仔”共需 380 元.
(1) 购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元?
(2) 若学校计划购买这两种吉祥物共 30 个,投入资金不少于 2160 元又不多于 2200 元,有哪几种购买方案?
(3) 设学校投入资金 $ W $ 元,在(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少? 最少资金是多少元?

答案： 23.
(1)设购买一个“蜀宝”需要$a$元，购买一个“锦仔”需要$b$元.根据题意，得$\begin{cases}3a + b = 332 \\2a + 3b = 380 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 88 \\b = 68 \end{cases}$.
∴购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元
(2)设购买“蜀宝”$x$个，则购买“锦仔”$(30 - x)$个.根据题意，得$\begin{cases}88x + 68(30 - x) \geq 2160 \\88x + 68(30 - x) \leq 2200 \end{cases}$，解得$6 \leq x \leq 8$.
∵$x$为正整数，
∴$x$可以取6，7，8.
∴共有3种购买方案.方案1：购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个.方案2：购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个.方案3：购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个
(3)根据题意，得$W = 88x + 68(30 - x) = 20x + 2040$.
∵$20 ＞ 0$，
∴$W$随$x$的增大而增大.由
(2)知，$x$可以取6，7，8，
∴当$x = 6$时$W$取得最小值，且最小值为$20×6 + 2040 = 2160$.
∴方案1需要的资金最少，最少资金是2160元

24. (2025·深圳)某学校采购体育用品,需要购买三种球类. 已知某体育用品商店排球的价格为 30 元/个,篮球、足球的价格信息如下表:

(1) 请你从上述 3 条信息中任选 2 个作为已知,求出篮球和足球的单价.
(2) 若该学校要购买篮球、足球共 10 个,且足球的个数不超过篮球个数的 2 倍,问:购买多少个篮球时花费最少? 最少费用是多少?

答案： 24.
(1)设篮球的单价为$x$元，足球的单价为$y$元.若选择条件①②：根据题意，得$\begin{cases}x + y + 30 = 140 \\2y - x = 40 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 60 \\y = 50 \end{cases}$.若选择条件①③：根据题意，得$\begin{cases}x + y + 30 = 140 \\5x = 6y \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 60 \\y = 50 \end{cases}$.若选择条件②③：根据题意，得$\begin{cases}2y - x = 40 \\5x = 6y \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 60 \\y = 50 \end{cases}$.
∴篮球的单价为60元，足球的单价为50元
(2)设该学校购买篮球$m$个，则购买足球$(10 - m)$个.根据题意，得$10 - m \leq 2m$，解得$m \geq \frac{10}{3}$.又
∵$m \leq 10$，
∴$\frac{10}{3} \leq m \leq 10$.设学校购买篮球、足球的总费用为$w$元.根据题意，得$w = 60m + 50(10 - m) = 10m + 500$.
∵$10 ＞ 0$，
∴$w$随$m$的增大而增大.
∵$\frac{10}{3} \leq m \leq 10$，且$m$为正整数，
∴当$m = 4$时，$w$取得最小值，且最小值为$10×4 + 500 = 540$.
∴购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元

25. (2025·烟台)2025 年 6 月 5 日是第 54 个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统. 已知购买 1 盏甲种路灯和 2 盏乙种路灯共需 220 元,购买 3 盏甲种路灯比 4 盏乙种路灯的费用少 140 元.
(1) 求甲、乙两种路灯的单价;
(2) 该社区计划购买甲、乙两种路灯共 40 盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 $ \frac{1}{3} $,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少.

答案： 25.
(1)设甲种路灯的单价是$x$元，乙种路灯的单价是$y$元.根据题意，得$\begin{cases}x + 2y = 220 \\4y - 3x = 140 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 60 \\y = 80 \end{cases}$.
∴甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元
(2)设购买$m$盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费$w$元，则购买$(40 - m)$盏乙种路灯.根据题意，得$w = 60m + 80(40 - m) = -20m + 3200$.
∵$-20 ＜ 0$，
∴$w$随$m$的增大而减小.又
∵$m \leq \frac{1}{3}(40 - m)$，
∴$m \leq 10$.
∴当$m = 10$时，$w$取得最小值，此时$40 - m = 40 - 10 = 30$.
∴当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少