《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

22. (2025·南京)(1)将抛物线$y=-x^{2}+2$向右平移两个单位长度，则与$y$轴交点的坐标为(0, -2)。
(2)将抛物线$y=-x^{2}+2$平移，使得顶点在一次函数$y = kx + 2(k\neq0)$的图象上，设顶点$P$的横坐标为$m$，抛物线与$y$轴交点的纵坐标为$n$，$n$随$m$的变化而变化。
①若$k = 2$，$0\leq m\leq3$，求$n$的取值范围；
②若函数$y = kx + 2(k\neq0)$的图象与$x$轴的交点为$A$，与$y$轴的交点为$B$，点$P$在线段$AB$上，则对于不同的$k$的值，下列可能发生的情况有(多选)()
A.$n$随着$m$的增大而增大
B.$n$随着$m$的增大而减小
C.$n$随着$m$的增大先增大再减小
D.$n$随着$m$的增大先减小再增大

答案：
22.
(1) (0, -2)
(2) ①
∵ k = 2，
∴ y = 2x + 2. 当 x = m
时，y = 2m + 2，
∴ 顶点 P 的坐标为 (m, 2m + 2). 由平移，得平移后的抛物线对应的函数解析式为 y = -(x - m)² + 2m + 2. 当 x = 0 时，n = -m² + 2m + 2 = -(m - 1)² + 3，
∴ 函数 n = -(m - 1)² + 3 的图象是顶点坐标为 (1,3)，开口向下的抛物线.
∴ 当 m ＞ 1 时，n 随 m 的增大而减小；当 m ＜ 1 时，n 随 m 的增大而增大. 又 0 ≤ m ≤ 3，
∴ 当 m = 3 时，n 取得最小值，为 -(3 - 1)² + 3 = -1；当 m = 1 时，n 取得最大值，为 -(1 - 1)² + 3 = 3.
∴ n 的取值范围是 -1 ≤ n ≤ 3
② AB 解析：
∵ 函数 y = kx + 2 的图象与 x 轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，
∴ 点 A 的坐标为 $(-\frac{2}{k}, 0)$，点 B 的坐标为 (0,2). 设点 P 的坐标为 (m, km + 2)，由平移，得平移后的抛物线对应的函数解析式为 y = -(x - m)² + km + 2. 当 x = 0 时，n = -m² + km + 2 = -$(m - \frac{k}{2})^{2} + \frac{1}{4}k^{2} + 2$，
∴ 函数 n = -$(m - \frac{k}{2})^{2} + \frac{1}{4}k^{2} + 2$ 的图象的顶点坐标为 $(\frac{k}{2}, \frac{1}{4}k^{2} + 2)$，与 y 轴的交点坐标为 (0,2). 分两种情况讨论：① 当 k ＞ 0 时，
∵ 点 P 在线段 AB 上，
∴ $-\frac{2}{k} \leq m \leq 0$. 函数 n = -$(m - \frac{k}{2})^{2} + \frac{1}{4}k^{2} + 2$ 的大致图象如图①所示，当 $-\frac{2}{k} \leq m \leq 0$ 时，n 随 m 的增大而增大. ② 当 k ＜ 0 时，
∵ 点 P 在线段 AB 上，
∴ $0 \leq m \leq -\frac{2}{k}$. 函数 n = -$(m - \frac{k}{2})^{2} + \frac{1}{4}k^{2} + 2$ 的大致图象如图②所示，当 $0 \leq m \leq -\frac{2}{k}$ 时，n 随 m 的增大而减小. 综上所述，选择 AB.

23. (2025·北京)在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC=\alpha$，点$D$在射线$BC$上，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$180^{\circ}-2\alpha$得到线段$AE$（点$E$不在直线$AB$上），过点$E$作$EF// AB$，交直线$BC$于点$F$。
(1)如图①，若$\alpha = 45^{\circ}$，点$D$与点$C$重合，求证：$BF = AC$；
(2)如图②，点$D$，$F$都在线段$BC$的延长线上，用等式表示$DF$与$BC$的数量关系，并证明。

答案：
23.
(1)
∵ ∠ACB = 90°，∠ABC = 45°，
∴ ∠BAC = ∠ABC = 45°.
∵ 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 180° - 2 × 45° = 90° 得到线段 AE，点 D 与点 C 重合，
∴ AE = AD = AC，∠EAB = 90° - ∠BAC = 45°.
∴ ∠EAB = ∠ABC.
∴ BC // AE.
∵ EF // AB，
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形.
∴ BF = AE.
∴ BF = AC
(2) DF = 2BC 如图，连接 BE，在 DB 上取一点 G，使得 AG = AB，
∴ ∠AGB = ∠ABG = α.
∴ ∠BAG = 180° - 2α. 将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 180° - 2α 得到线段 AE，
∴ ∠DAE = 180° - 2α，DA = EA.
∴ ∠DAE = ∠BAG.
∵ AG = AB，DA = EA，
∴ △DAG ≌ △EAB.
∴ DG = EB，∠AGD = ∠ABE = 180° - ∠AGC = 180° - α. 又
∵ ∠ABC = α，
∴ ∠FBE = ∠ABE - ∠ABC = 180° - α - α = 180° - 2α.
∵ EF // AB，
∴ ∠BFE = ∠ABF = α.
∴ ∠BEF = 180° - ∠FBE - ∠BFE = α.
∴ ∠BEF = ∠BFE.
∴ BE = BF.
∴ DG = BF.
∵ AG = AB，∠ACB = 90°，即 AC ⊥ BC，
∴ GC = BC.
∴ DF = BD - BF = BD - DG = BG = 2BC