《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

10. (2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①$3$,$4$,$5$;②$5$,$12$,$13$;③$7$,$24$,$25$;④$9$,$40$,$41·s·s$根据上述规律,写出第⑤组勾股数为11,60,61.

答案： 10.11,60,61 解析：通过观察，得第①组勾股数分别为$2 × 1 + 1 = 3 , 2 × 1 ^ { 2 } + 2 × 1 = 4 , 2 × 1 ^ { 2 } + 2 × 1 + 1 = 5$；第②组勾股数分别为$2 × 2 + 1 = 5 , 2 × 2 ^ { 2 } + 2 × 2 = 12 , 2 × 2 ^ { 2 } + 2 × 2 + 1 = 13$；第③组勾股数分别为$2 × 3 + 1 = 7 , 2 × 3 ^ { 2 } + 2 × 3 = 24 , 2 × 3 ^ { 2 } + 2 × 3 + 1 = 25$；第④组勾股数分别为$2 × 4 + 1 = 9 , 2 × 4 ^ { 2 } + 2 × 4 = 40 , 2 × 4 ^ { 2 } + 2 × 4 + 1 = 41$.$\therefore$第⑤组勾股数分别为$2 × 5 + 1 = 11 , 2 × 5 ^ { 2 } + 2 × 5 = 60 , 2 × 5 ^ { 2 } + 2 × 5 + 1 = 61$.

11. (2025·自贡)如图,在平面直角坐标系中,$\mathrm{Rt}\triangle ABC$的顶点$C$,$A$分别在$x$轴、$y$轴正半轴上,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle BAC=30^{\circ}$,$BC=2$.以$BC$为边作等边三角形$BCD$,连接$OD$,则$OD$长的最大值为$\sqrt { 3 } + \sqrt { 13 }$.

答案：
11.$\sqrt { 3 } + \sqrt { 13 }$解析：$\because$在$Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90 ^ { \circ }$，$\angle BAC = 30 ^ { \circ }$，$BC = 2$，$\therefore AC = \frac { BC } { \tan 30 ^ { \circ } } = 2 \sqrt { 3 }$.$\because \triangle BCD$为等边三角形，$\therefore CD = BC = 2$，$\angle BCD = 60 ^ { \circ }$.如图，取AC的中点E，连接OE，DE，过点E作$EF \perp CD$，交DC的延长线于点F，则$AE = CE = OE = \frac { 1 } { 2 } AC = \sqrt { 3 }$，$\angle FCE = 180 ^ { \circ } - \angle ACB - \angle BCD = 30 ^ { \circ }$．$\therefore EF = \frac { 1 } { 2 } CE = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$，$CF = \sqrt { CE ^ { 2 } - EF ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 }$．$\therefore DF = DC + CF = \frac { 7 } { 2 }$．$\therefore DE = \sqrt { EF ^ { 2 } + DF ^ { 2 } } = \sqrt { 13 }$．$\therefore OD \leqslant OE + DE = \sqrt { 3 } + \sqrt { 13 }$．$\therefore OD$长的最大值为$\sqrt { 3 } + \sqrt { 13 }$.
　　　　　　　

12. (2025·江西)如图①所示为一种靠墙玻璃淋浴房,其俯视示意图如图②所示,$AE$与$DE$两处是墙,$AB$与$CD$两处是固定的玻璃隔板,$BC$处是门框,测得$AB=BC=CD=60\mathrm{cm}$,$\angle ABC=\angle BCD=135^{\circ}$,$MN$处是一扇推拉门,推动推拉门时,两端点$M$,$N$分别在$BC$,$CD$对应的轨道上滑动.当点$N$与点$C$重合时,推拉门与门框完全闭合;当点$N$滑动到限位点$P$处时,推拉门推至最大,此时测得$\angle CNM=6^{\circ}$.
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中,
①$\angle CMN$的最小度数为$0 ^ { \circ }$,最大度数为$39 ^ { \circ }$;
②$\triangle CMN$面积的变化情况是C.
A. 越来越大
B. 越来越小
C. 先增大后减小
(2)当$\angle CMN=30^{\circ}$时,求$\triangle CMN$的面积.

答案： 12.
(1)①$0 ^ { \circ } 39 ^ { \circ }$②C
(2)过点N作$NG \perp BC$于点G，由题意，得$MN = BC = 60cm$，当$\angle CMN = 30 ^ { \circ }$时，$NG = \frac { 1 } { 2 } MN = 30cm$，$\therefore MG = \sqrt { MN ^ { 2 } - NG ^ { 2 } } = 30 \sqrt { 3 }cm$.$\because \angle NCG = 180 ^ { \circ } - \angle BCD = 180 ^ { \circ } - 135 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ }$，$\therefore CG = NG = 30cm$．$\therefore MC = MG - CG = (30 \sqrt { 3 } - 30)cm$．$\therefore S _ { \triangle CMN } = \frac { 1 } { 2 } MC · NG = \frac { 1 } { 2 } × (30 \sqrt { 3 } - 30) × 30 = (450 \sqrt { 3 } - 450)cm ^ { 2 }$

13. (2025·广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长$a$,$b$,$c$都是正整数,则$a$,$b$,$c$为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
(1)请补全表中的勾股数.
(2)根据表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a$,$b$,$c$,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为$1\mathrm{m}$.如果每个三角形最短边都种$21$株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?

答案： 13.
(1)24
(2)①根据表中数据$(3 , 4 , 5)$，$(4 , 3 , 5)$，$(5 , 12 , 13)$，$(7 , 24 , 25)$，$(8 , 15 , 17)$，$(11 , 60 , 61)$，$(12 , 35 , 37)$，$(13 , 84 , 85)$，$(15 , 112 , 113)$，$(16 , 63 , 65)$，$(17 , 144 , 145)$，$(19 , 180 , 181)$，$(20 , 21 , 29)$的规律能用含字母$n , m (m ＞ n$，且n，m均为正整数)的代数式表示三角形的三边.设$a = m ^ { 2 } - n ^ { 2 }$，$b = 2 m n$，$c = m ^ { 2 } + n ^ { 2 }$.证明：$\because a ^ { 2 } = ( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) ^ { 2 } = m ^ { 4 } - 2 m ^ { 2 } n ^ { 2 } + n ^ { 4 }$，$b ^ { 2 } = ( 2 m n ) ^ { 2 } = 4 m ^ { 2 } n ^ { 2 }$，$\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = m ^ { 4 } + 2 m ^ { 2 } n ^ { 2 } + n ^ { 4 }$．$\because c ^ { 2 } = ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) ^ { 2 } = m ^ { 4 } + 2 m ^ { 2 } n ^ { 2 } + n ^ { 4 }$，$\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$．根据勾股定理的逆定理，得$a = m ^ { 2 } - n ^ { 2 }$，$b = 2 m n$，$c = m ^ { 2 } + n ^ { 2 }$能够成为直角三角形的三边长.②根据表中数据可知$(6 , 8 , 10)$，$(9 , 12 , 15)$，$(21 , 28 , 35)$分别是$(3 , 4 , 5)$的2倍，3倍，7倍；$(10 , 24 , 26)$，$(14 , 48 , 50)$，$(18 , 80 , 82)$，$(22 , 120 , 122)$分别是$(5 , 12 , 13)$，$(7 , 24 , 25)$，$(9 , 40 , 41)$，$(11 , 60 , 61)$的2倍，经验算$(9 , 40 , 41)$满足$m ^ { 2 } - n ^ { 2 }$，$2 m n$，$m ^ { 2 } + n ^ { 2 }$.因此，表中数据能用含字母$n , m , k (m ＞ n$，且n，m，k均为正整数)的代数式表示三角形的三边.设$a = ( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) · k$，$b = 2 m n k$，$c = ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) k$.证明：$\because a ^ { 2 } = [ ( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) k ] ^ { 2 } = m ^ { 4 } k ^ { 2 } - 2 m ^ { 2 } n ^ { 2 } k ^ { 2 } + n ^ { 4 } k ^ { 2 }$，$b ^ { 2 } = ( 2 m n k ) ^ { 2 } = 4 m ^ { 2 } n ^ { 2 } k ^ { 2 }$，$\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = m ^ { 4 } k ^ { 2 } + 2 m ^ { 2 } n ^ { 2 } k ^ { 2 } + n ^ { 4 } k ^ { 2 }$．$\because c ^ { 2 } = [ ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) k ] ^ { 2 } = m ^ { 4 } k ^ { 2 } + 2 m ^ { 2 } n ^ { 2 } k ^ { 2 } + n ^ { 4 } k ^ { 2 }$，$\therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$．根据勾股定理的逆定理，得$( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) k$，$2 m n k$，$( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) k$能够成为直角三角形的三边长.$\therefore$利用$a = ( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) k$，$b = 2 m n k$，$c = ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) k$能够表示出表中所有勾股数组
(3)依题意设$a = 20$，且直角三角形三边长均为正整数.由勾股定理可得$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$，则有$c ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 20 ^ { 2 }$，即$( c + b ) ( c - b ) = 400$.下面分4种情况讨论.①$\begin{cases} c + b = 40 \\ c - b = 10 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c = 25 \\ b = 15 \end{cases}$.$\because a ＜ b$，$\therefore b = 15$舍去.②$\begin{cases} c + b = 100 \\ c - b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c = 52 \\ b = 48 \end{cases}$所需花为$4 × 120 = 480$(株).③$\begin{cases} c + b = 200 \\ c - b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c = 101 \\ b = 99 \end{cases}$所需花为$4 × 220 = 880$(株).④$\begin{cases} c + b = 50 \\ c - b = 8 \end{cases}$，解得$\begin{cases} c = 29 \\ b = 21 \end{cases}$所需花为$4 × 70 = 280$(株).综上所述，这块绿地最少需要种植280株花.