《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

11. (2025·安徽)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛。如图，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段$AB$和$CD$表示，彩带用线段$AD$表示。工作人员在点$A$处测得点$C$的俯角为$23.8^{\circ}$，测得点$D$的仰角为$36.9^{\circ}$。已知$AB = 13.20m$，求$AD$的长（结果精确到$0.1m$，参考数据：$\sin23.8^{\circ}\approx0.40$，$\cos23.8^{\circ}\approx0.91$，$\tan23.8^{\circ}\approx0.44$，$\sin36.9^{\circ}\approx0.60$，$\cos36.9^{\circ}\approx0.80$，$\tan36.9^{\circ}\approx0.75$）。

答案： 11. 过点A作$AE \perp CD$，垂足为E。根据题意，得四边形ABCE为矩形，$\therefore CE = AB = 13.20 m$。在$Rt \triangle ACE$中，
$\tan \angle CAE = \frac{CE}{AE}$。$\therefore AE = \frac{CE}{\tan \angle CAE} = \frac{13.20}{\tan 23.8^{\circ}} \approx \frac{13.20}{0.44} = 30.0(m)$。在$Rt \triangle ADE$中，$\cos \angle DAE = \frac{AE}{AD}$。
$\therefore AD = \frac{AE}{\cos \angle DAE} = \frac{30.0}{\cos 36.9^{\circ}} \approx \frac{30.0}{0.80} = 37.5(m)$。$\therefore AD$的长约为$37.5 m$

12. (2025·广安)随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛。如图，$O$，$C$是同一水平线上的两点，无人机从点$O$竖直上升到点$A$，在点$A$测得点$C$的俯角为$30^{\circ}$，$A$，$C$两点的距离为$24m$。无人机继续竖直上升到点$B$，在点$B$测得点$C$的俯角为$36.9^{\circ}$。求无人机从点$A$到点$B$的上升高度$AB$（结果精确到$0.1m$，点$O$，$A$，$B$，$C$在同一平面内，参考数据：$\sin36.9^{\circ}\approx0.60$，$\cos36.9^{\circ}\approx0.80$，$\tan36.9^{\circ}\approx0.75$，$\sqrt{3}\approx1.73$）。

答案：
12. 如图。由题意，得$DB // AE // CO$，$\therefore \angle DBC = \angle BCO = 36.9^{\circ}$，$\angle EAC = \angle ACO = 30^{\circ}$。在$Rt \triangle ACO$中，$AC = 24 m$，
$\therefore AO = \frac{1}{2}AC = 12 m$，$CO = \sqrt{3}AO = 12\sqrt{3} m$。在$Rt \triangle BCO$中，$BO = CO · \tan 36.9^{\circ} \approx 12\sqrt{3} × 0.75 = 9\sqrt{3}(m)$。$\therefore AB = BO - AO = 9\sqrt{3} - 12 \approx 3.6(m)$。$\therefore$无人机从点A到点B的上升高度AB约为$3.6 m$

13. (2025·凉山)如图①，某型号起重机吊起一货物$M$在空中保持静止状态时，货物$M$与点$O$的连线$MO$恰好平行于地面，其示意图如图②所示，其中$BM = 3$米，$\angle BOM = 18.17^{\circ}$（参考数据：$\sin18.17^{\circ}\approx0.31$，$\cos18.17^{\circ}\approx0.95$，$\tan18.17^{\circ}\approx0.33$，$\sin36^{\circ}\approx0.59$，$\cos36^{\circ}\approx0.81$，$\tan36^{\circ}\approx0.73$）。
(1)求直吊臂$OB$的长（结果精确到$1$米）；
(2)如图③，直吊臂$OB$与$BM$的长度保持不变，$OB$绕点$O$逆时针旋转，当$\angle OBM = 36^{\circ}$时，货物$M$上升了多少米（结果精确到$1$米）？

答案：
13.
(1)根据题意，得$BM \perp OM$。$\because \angle BOM = 18.17^{\circ}$，$BM = 3$米，$\therefore$在$Rt \triangle BOM$中，$OB = \frac{BM}{\sin \angle BOM} = \frac{3}{0.31} \approx 10(米)$。
$\therefore$直吊臂OB的长约为$10$米
(2)如图，记旋转后的点B，M的对应点为$B'$，$M'$，延长$B'M'$交OM于点F，过点B作$BE \perp B'F$于点E，则$\angle BEF = 90^{\circ}$。根据题意，得$B'M' = BM = 3$米，$OB' = OB = 10$米。$\because \angle BEF = \angle EFM = \angle BMF = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形EFMB为矩形。$\therefore EF = BM = 3$米。在$Rt \triangle B'OF$中，$B'F = OB' · \cos \angle OB'M \approx 10 × 0.81 = 8.1(米)$，$\therefore M'F = B'F - B'M' = 8.1 - 3 = 5.1 \approx 5(米)$。$\therefore$货物M上升了约5米