《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

18. 先化简，再求值：
(1) (2025·安徽)$\frac{2}{x^{2} + 2x + 1}÷\frac{1}{x^{2} - 1}$，其中$x = 3$；
(2) (2025·广安)$(\frac{1}{x + 1}+1)÷\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2x + 1}$，其中$x = - 4$；
(3) (2025·福建)$(2+\frac{1 - a}{a})÷\frac{a^{2} + 2a + 1}{a}$，其中$a=\sqrt{5}-1$。

答案： 18.
(1)原式$= \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } · ( x + 1 ) ( x - 1 ) = \frac { 2 x - 2 } { x + 1 }$。当$x = 3$
时，原式$= \frac { 2 × 3 - 2 } { 3 + 1 } = 1$
(2)原式$=( \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x + 1 } )$
$\frac { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { x + 2 } { x + 1 } · \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) } = \frac { x + 1 } { x - 2 }$。当$x = - 4$时，
原式$= \frac { 4 + 1 } { - 4 - 2 } = - \frac { 1 } { 2 }$
(3)原式$=-( \frac { 2 a } { a } - \frac { 1 } { a } - a ) \frac { ( a + 1 ) ^ { 2 } } { a } = \frac { a + 1 } { a } · \frac { ( a + 1 ) ^ { 2 } } { a + 1 } = \frac { 1 } { a + 1 }$。当$a = \sqrt { 5 } - 1$时，原式$= \frac { 1 } { \sqrt { 5 } - 1 + 1 } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

19. 先化简，再求值：
(1) (2025·烟台)$(2 + m+\frac{4}{m - 2})÷\frac{m}{3m - 6}$，其中$m = (-1)^{2025}$；
(2) (2025·凉山)$1-\frac{2x}{x + 2}÷\frac{2x^{2} - 4x}{x^{2} + 4x + 4}$，求值时请在$-2\leqslant x\leqslant2$内取一个使原式有意义的$x$（$x$为整数）的值代入；
(3) (2025·重庆)$(x + 1)(3x - 1)-x(3x + 1)+\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2x + 1}÷(\frac{1}{x}-\frac{2}{x + 1})$，其中$x = |-3|+(\pi - 4)^{0}$。

答案： 19.
(1)原式$= \frac { m ^ { 2 } - 4 + 4 } { m - 2 } = \frac { m } { 3 ( m - 2 ) } = \frac { m ^ { 2 } } { m - 2 } = \frac { 3 ( m - 2 ) } { m }$
$3 m$。当$m = ( - 1 ) ^ { 2 0 2 5 } = - 1$时，原式$= 3 × ( - 1 ) = - 3$
(2)原式$= 1 - \frac { 2 x } { x + 2 } · \frac { ( x + 2 ) ^ { 2 } } { 2 x ( x - 2 ) } = 1 - \frac { x + 2 } { x - 2 } = \frac { x - 2 - x - 2 } { x - 2 } = - \frac { 4 } { x - 2 }$。
$\because x \neq 0$，$x + 2 \neq 0$，$x - 2 \neq 0$，$\therefore x \neq0$，$x \neq \pm 2$。$\because - 2 \leq x \leq 2$且$x$为整数，$\therefore x$可以取$- 1$或$1$。
当$x = 1$时，原式$=- \frac { 4 } { 1 - 2 } = 4$（答案不唯一）
(3)原式$= \frac { 3 x ^ { 2 } - x + 3 x - 1 - 3 x ^ { 2 } - x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } ÷ \frac { x + 1 } { x ( x + 1 ) }$
$= \frac { 2 x } { x ( x + 1 ) } = \frac { x - 1 } { x - 1 } + \frac { x ( x - 1 ) } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } ÷ \frac { x ( x + 1 ) } { x ( x + 1 ) } = x - 1 + \frac { x ( x - 1 ) } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } · \frac { ( x + 1 ) ^ { 2 } } { x ( x + 1 ) } = x - 1 + \frac { x - 1 } { x + 1 } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x + 1 } = \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 }$。
当$x = | - 3 | + ( \pi - 4 ) ^ { 0 } = 3 + 1 = 4$时，原式$= \frac { 1 } { 4 + 1 } = \frac { 1 } { 5 }$

20. 先化简，再求值：
(1) (2025·遂宁)$(a + 1+\frac{1}{a - 1})÷\frac{a^{3} - 2a^{2}}{a^{2} - 4a + 4}$，其中$a$满足$a^{2} - 4 = 0$；
(2) (2025·眉山)$(\frac{y}{x^{2} - y^{2}}+\frac{1}{x + y})÷\frac{x}{x - y}$，其中$x$，$y$满足$(x + 2)^{2}+|y - 1| = 0$。

答案： 20.
(1)原式$=( \frac { a ^ { 2 } - 1 } { a - 1 } + \frac { 1 } { a - 1 } ) ÷ \frac { ( a - 2 ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( a - 2 ) } = \frac { a ^ { 2 } } { a - 1 } · \frac { a ^ { 2 } ( a - 2 ) } { ( a - 2 ) ^ { 2 } } = \frac { a - 2 } { a ^ { 2 } ( a - 2 ) } · \frac { a ^ { 2 } } { a - 1 } = \frac { a ^ { 2 } } { a - 1 }$。
$\because a ^ { 2 } - 4 = 0$，$a - 2 \neq 0$，$\therefore a = - 2$。$\therefore$原
式$= \frac { 4 } { 3 }$
(2)原式$= \frac { x } { ( x + y ) ( x - y ) } + \frac { x - y } { ( x + y ) ( x - y ) } = \frac { x + x - y } { ( x + y ) ( x - y ) } = \frac { x } { x + y }$。
$\because ( x + 2 ) ^ { 2 } + | y -1 | = 0$，$\therefore x + 2 = 0$，$y - 1 = 0$。$\therefore x = - 2$，$y = 1$。$\therefore$原式
$= \frac { 1 } { - 2 + 1 } = - 1$