《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

22. (2025·泸州)如图，在水平地面上有两座建筑物$AD$，$BC$，其中$BC = 18m$。从$A$，$B$之间的$E$点（点$A$，$E$，$B$在同一水平线上）测得$D$点，$C$点的仰角分别为$75^{\circ}$和$30^{\circ}$，从$C$点测得$D$点的仰角为$30^{\circ}$。求：
(1)$\angle CDE$的度数；
(2)建筑物$AD$的高度（结果保留根号）。

答案： 22.
(1)过点C作$CF \perp AD$，垂足为F。由题意，得$CF // AB$，
$\therefore \angle FCE = \angle CEB = 30^{\circ}$。$\because \angle DCF = 30^{\circ}$，$\therefore \angle DCE = \angle DCF + \angle FCE = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$。$\because \angle AED = 75^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC = 180^{\circ} - \angle AED - \angle CEB = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$。$\therefore \angle CDE = 180^{\circ} - \angle DEC - \angle DCE = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$
(2) 过点E作$EG \perp CD$，垂足为G。由题意，得
$AF = BC = 18 m$。在$Rt \triangle EBC$中，$BC = 18 m$，$\angle CEB = 30^{\circ}$，
$\therefore CE = 2BC = 36 m$。在$Rt \triangle CEG$中，$\angle ECG = 60^{\circ}$，$\therefore CG = CE · \cos 60^{\circ} = 36 × \frac{1}{2} = 18(m)$，$EG = CE · \sin 60^{\circ} = 36 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}(m)$。在$Rt \triangle DEG$中，$\angle EDG = 45^{\circ}$，$\therefore DG = \frac{EG}{\tan 45^{\circ}} = 18\sqrt{3}(m)$。$\therefore CD = CG + DG = (18 + 18\sqrt{3}) m$。在
$Rt \triangle DFC$中，$\angle DCF = 30^{\circ}$，$\therefore DF = \frac{1}{2}CD = (9 + 9\sqrt{3}) m$。
$\therefore AD = AF + DF = 18 + 9 + 9\sqrt{3} = (27 + 9\sqrt{3}) m$。$\therefore$建筑物AD的高度为$(27 + 9\sqrt{3}) m$

23. (2025·重庆)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况。如图，$A$，$B$，$C$，$D$在同一平面内。$A$是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于$A$的正东方向$10$千米的$B$处，乙无人机位于$A$的南偏西$30^{\circ}$方向$20$千米的$D$处。两无人机同时飞往$C$处巡视，$D$位于$C$的正西方向上，$B$位于$C$的北偏西$30^{\circ}$方向上（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{5}\approx2.24$，$\sqrt{7}\approx2.65$）。
(1)求$BD$的长度（结果精确到$0.1$千米）。
(2)甲、乙两无人机同时分别从$B$，$D$出发沿$BC$，$DC$往$C$处进行巡视，乙无人机的速度为甲无人机速度的$2$倍。当两无人机相距$20$千米时，它们可以开始相互接收到信号。请问甲无人机飞离$B$处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果精确到$0.1$千米）？

答案：
23.
(1)如图，过点A作$AE \perp CD$于点E，过点B作$BF \perp CD$于点F，$\therefore \angle AED = \angle BFC = 90^{\circ}$。由题意，得$\angle DAE = 30^{\circ}$。在$Rt \triangle ADE$中，$AE = AD · \cos \angle DAE = 20 × \cos 30^{\circ} = 10\sqrt{3}(千米)$，$DE = AD · \sin \angle DAE = 20 × \sin 30^{\circ} = 10(千米)$。$\because$甲无人机位于A的正东方向$10$千米的B处，D位
于C的正西方向上，$\therefore AB // CD$。$\therefore AE \perp AB$，$BF \perp AB$。
$\therefore$易知四边形AEFB是矩形。$\therefore EF = AB = 10$千米，$BF = AE = 10\sqrt{3}$千米。$\therefore DF = DE + EF = 10 + 10 = 20(千米)$。
$\therefore BD = \sqrt{DF^{2} + BF^{2}} = \sqrt{20^{2} + (10\sqrt{3})^{2}} = 10\sqrt{7} \approx 26.5(千米)$。$\therefore BD$的长度约为$26.5$千米
(2)如图，当甲无人机
运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足$MN = 20$千米，
过点M作$MT \perp CD$于点T。由题意，得$\angle BCF = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。在$Rt \triangle FBC$中，$BC = \frac{BF}{\sin \angle BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = 20(千米)$，
$CF = \frac{BF}{\tan \angle BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\tan 60^{\circ}} = 10(千米)$，$\therefore CD = DF + CF = 20 + 10 = 30(千米)$。设$BM = x$千米，则$DN = 2x$千米，
$CM = (20 - x)$千米。在$Rt \triangle CMT$中，$\angle MCT = 60^{\circ}$，$\therefore CT = CM · \cos \angle MCT = (20 - x) · \cos 60^{\circ} = (10 - \frac{1}{2}x)千米$，$MT = CM · \sin \angle MCT = (20 - x) · \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}(20 - x)千米$，$\therefore NT = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10 - \frac{1}{2}x) = (20 - \frac{3}{2}x)千米$。在$Rt \triangle MNT$中，由勾股定理，得$MN^{2} = MT^{2} + NT^{2}$，$\therefore 20^{2} = [\frac{\sqrt{3}}{2}(20 - x)]^{2} + (20 - \frac{3}{2}x)^{2}$。$\therefore x = 15 - 5\sqrt{5}$或$x = 15 + 5\sqrt{5}$(舍去)。$\therefore BM = 15 - 5\sqrt{5} \approx 3.8(千米)$。$\therefore$甲无人机飞离B处$3.8$千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。