《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

17. (2025·连云港)已知二次函数 $ y = x^2 + 2(a + 1)x + 3a^2 - 2a + 3 $，$ a $ 为常数。
(1) 若该二次函数的图象与直线 $ y = 2a^2 $有两个交点，求 $ a $ 的取值范围；
(2) 若该二次函数的图象与 $ x $ 轴有交点，求 $ a $ 的值；
(3) 求证：该二次函数的图象不经过原点。

答案： 17.
(1)
∵二次函数$y=x^{2}+2(a+1)x+3a^{2}-2a+3$中，$1＞0$，
∴二次函数的图象开口向上．
∵二次函数的图象与直线$y=2a^{2}$有两个交点，
∴函数的最小值小于$2a^{2}$．
∴$\frac{4(3a^{2}-2a+3)-4(a+1)^{2}}{4}＜2a^{2}$，即$2a^{2}-4a+2＜2a^{2}$，解得$a＞\frac{1}{2}$．
(2)
∵二次函数的图象与$x$轴有交点，
∴$4(a+1)^{2}-4×1×(3a^{2}-2a+3)=-8a^{2}+16a-8=-8(a-1)^{2}\geq0$．又
∵$8(a-1)^{2}\geq0$，
∴$8(a-1)^{2}=0$，解得$a=1$．
(3)
∵当$x=0$时，$y=3a^{2}-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{3}＞0$，
∴该二次函数的图象不经过原点．

18. (2025·安徽)已知抛物线 $ y = ax^2 + bx(a \neq 0) $经过点 $ (4,0) $。
(1) 求该抛物线的对称轴。
(2) 点 $ A(x_1,y_1) $和 $ B(x_2,y_2) $分别在抛物线 $ y = ax^2 + bx $和 $ y = x^2 - 2x $上（点 $ A $，$ B $与原点都不重合）。
① 若 $ a = \frac{1}{2} $，且 $ x_1 = x_2 $，比较 $ y_1 $与 $ y_2 $的大小；
② 当 $ \frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2}{x_1} $时，若 $ \frac{x_2}{x_1} $是一个与 $ x_1 $无关的定值，求 $ a $与 $ b $的值。

答案： 18.
(1)将$(4,0)$代入$y=ax^{2}+bx$，得$16a+4b=0$，即$b=-4a$，
∴$-\frac{b}{2a}=2$，
∴该抛物线的对称轴是直线$x=2$．
(2)①
∵$b=-4a$，$a=\frac{1}{2}$，
∴抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x$．又$x_{1}=x_{2}$，
∴$y_{2}-y_{1}=(x_{2}^{2}-2x_{2})-(\frac{1}{2}x_{1}^{2}-2x_{1})=(x_{1}^{2}-2x_{1})-(\frac{1}{2}x_{1}^{2}-2x_{1})=\frac{1}{2}x_{1}^{2}$．
∵抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x$过原点，且点A与原点不重合，
∴$x_{1}\neq0$，
∴$\frac{1}{2}x_{1}^{2}＞0$，
∴$y_{2}＞y_{1}$．②由题意知，$y_{1}=ax_{1}^{2}-4ax_{1}$，$y_{2}=x_{2}^{2}-2x_{2}$．
∵$\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}$，
∴$\frac{x_{2}^{2}-2x_{2}}{a(x_{1}^{2}-4x_{1})}=\frac{x_{2}}{x_{1}}$．
∵两条抛物线均过原点，且点A，B与原点都不重合，
∴$x_{1}\neq0$，$x_{2}\neq0$，
∴$\frac{x_{2}-2}{a(x_{1}-4)}=1$，即$x_{2}=a(x_{1}-4)+2$，
∴$\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{a(x_{1}-4)+2}{x_{1}}=a+\frac{2-4a}{x_{1}}$．
∵$a+\frac{2-4a}{x_{1}}$是与$x_{1}$无关的定值，
∴$2-4a=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$a=\frac{1}{2}$，$b=-4a=-2$．

19. (2025·河南)在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 2 $中，$ x $与 $ y $的几组对应值如表所示。

(1) 求二次函数的解析式；
(2) 求二次函数图象的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(3) 将二次函数的图象向右平移 $ n $ 个单位长度后，当 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时，若图象对应的函数的最大值与最小值的差为 5，请直接写出 $ n $ 的值。

答案：
19.
(1)由题意，结合表格数据可得，二次函数图象的对称轴是直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$．
∴可设二次函数的解析式为$y=a(x+1)^{2}+k$．把$(0,-2)$，$(1,1)$代入，得$-2=a(0+1)^{2}+k$，$1=a(1+1)^{2}+k$，
∴$a=1$，$k=-3$，
∴二次函数的解析式为$y=(x+1)^{2}-3$，即$y=x^{2}+2x-2$．
(2)
∵$y=(x+1)^{2}-3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$．二次函数的图象如图所示．
(3)
∵二次函数的图象向右平移$n$个单位长度，
∴新函数为$y=(x+1-n)^{2}-3$，此时函数图象开口向上，对称轴是直线$x=n-1$．①当$3\leq n-1$，即$n\geq4$时，当$x=0$时，$y$取得最大值为$(1-n)^{2}-3$；当$x=3$时，$y$取得最小值为$(4-n)^{2}-3$．又
∵最大值与最小值的差为5，
∴$(1-n)^{2}-3-(4-n)^{2}+3=5$，
∴$n=\frac{10}{3}＜4$，不合题意．②当$0＜ n-1＜\frac{3}{2}$，即$1＜ n＜\frac{5}{2}$时，当$x=3$时，$y$取得最大值为$(4-n)^{2}-3$；当$x=n-1$时，$y$取得最小值为$-3$．又
∵最大值与最小值的差为5，
∴$(4-n)^{2}-3+3=5$，
∴$n=4+\sqrt{5}$(不合题意，舍去)或$n=4-\sqrt{5}$．③当$\frac{3}{2}\leq n-1＜3$，即$\frac{5}{2}\leq n＜4$时，当$x=0$时，$y$取得最大值为$(1-n)^{2}-3$；当$x=n-1$时，$y$取得最小值为$-3$．又
∵最大值与最小值的差为5，
∴$(1-n)^{2}-3+3=5$，
∴$n=1+\sqrt{5}$或$n=1-\sqrt{5}$(不合题意，舍去)．④当$n-1\leq0$，即$n\leq1$时，当$x=0$时，$y$取得最小值为$(1-n)^{2}-3$；当$x=3$时，$y$取得最大值为$(4-n)^{2}-3$．又
∵最大值与最小值的差为5，
∴$(4-n)^{2}-3-(1-n)^{2}+3=5$，
∴$n=\frac{5}{3}＞1$，不合题意．综上所述，$n=1+\sqrt{5}$或$n=4-\sqrt{5}$．
　　　　　

20. (2025·福建)在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^2 + bx - 2 $的图象过点 $ A(1,t) $，$ B(2,t) $。
(1) 求 $ \frac{b}{a} $的值。
(2) 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx - 2 $的最大值为 $ 1 - \frac{3}{4}a^2 $。
① 求该二次函数的解析式；
② 若 $ M(x_1,m) $，$ N(x_2,m) $为该二次函数图象上不同的两点，且 $ m \neq 0 $，求证：$ \frac{(x_1 - 1)^2}{m} = \frac{x_2 - 2}{x_1 - 2} $。

答案： 20.
(1)由题意，得二次函数$y=ax^{2}+bx-2$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$．
∵点$A(1,t)$，$B(2,t)$在该函数的图象上，
∴$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=-3$．
(2)①由
(1)，得$b=-3a$，
∴该函数的解析式为$y=ax^{2}-3ax-2$，
∴函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$．
∵函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^{2}$，
∴$a＜0$，且$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^{2}$，解得$a=-1$或$a=4$(舍去)，
∴该二次函数的解析式为$y=-x^{2}+3x-2$．②
∵点$M(x_{1},m)$在函数$y=-x^{2}+3x-2$的图象上，
∴$m=-x_{1}^{2}+3x_{1}-2$．由①知，点$M(x_{1},m)$，$N(x_{2},m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，不妨设$x_{1}＜x_{2}$，则$x_{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_{1}$，即$x_{1}+x_{2}=3$．
∴$\frac{(x_{1}-1)^{2}}{m}-\frac{x_{2}-2}{x_{1}-2}=\frac{(x_{1}-1)^{2}(x_{1}-2)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}=\frac{(x_{1}-1)(x_{1}-2)(x_{1}-1)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}=\frac{(x_{1}^{2}-3x_{1}+2)(x_{1}-1)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}=\frac{-m(x_{1}-1)-m(x_{2}-2)}{m(x_{1}-2)}=\frac{-m(x_{1}+x_{2}-3)}{m(x_{1}-2)}=0$，
∴$\frac{(x_{1}-1)^{2}}{m}=\frac{x_{2}-2}{x_{1}-2}$．