《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

16. (2025·威海)小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度$AB$。测量方案如图所示：先从自家的阳台点$C$处测得大楼顶部点$B$的仰角$\angle1$的度数，大楼底部点$A$的俯角$\angle2$的度数。然后在点$C$正下方点$D$处，测得大楼顶部点$B$的仰角$\angle3$的度数。若$\angle1 = 45^{\circ}$，$\angle2 = 52^{\circ}$，$\angle3 = 65^{\circ}$，$CD = 10m$，求大楼的高度$AB$（结果精确到$1m$，参考数据：$\sin52^{\circ}\approx0.8$，$\cos52^{\circ}\approx0.6$，$\tan52^{\circ}\approx1.3$，$\sin65^{\circ}\approx0.9$，$\cos65^{\circ}\approx0.4$，$\tan65^{\circ}\approx2.1$）。

答案： 16. 过点C作$CG \perp AB$于点G，过点D作$DH \perp AB$于点H，则四边形CDHG是矩形，$\therefore GH = CD = 10 m$，$CG = DH$。$\because \angle 1 = 45^{\circ}$，$\therefore CG = BG$。设$AH = x m$，$\therefore AG = (x + 10) m$。在$Rt \triangle ACG$中，$\because \angle 2 = 52^{\circ}$，$\therefore CG = \frac{AG}{\tan 52^{\circ}} \approx \frac{x + 10}{1.3} m$。$\therefore BG = CG = \frac{x + 10}{1.3} m$。$\therefore BH = BG + GH = (\frac{x + 10}{1.3} + 10) m$。在$Rt \triangle BDH$中，$\angle 3 = 65^{\circ}$，$\therefore \tan 65^{\circ} = \frac{BH}{DH} = \frac{\frac{x + 10}{1.3} + 10}{10 + x} \approx 2.1$。$\therefore x \approx 1.8$。$\therefore AH = 1.8 m$，$BH \approx 19.1 m$。$\therefore AB = BH + AH \approx 21(m)$。$\therefore$大楼的高度AB约为$21 m$

17. (2025·甘肃)如图①，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）。该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系。随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低。为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动。如图②所示为他们测量长城第一墩高度$AB$的示意图，$A$为最高点，点$B$，$F$，$D$是地面同一直线上的三个点（点$D$，$F$都在保护栅栏外），在$D$，$F$处分别用测角仪测得$\angle ACG = 16.7^{\circ}$，$\angle AEG = 22^{\circ}$，其中$CD = EF = 1.7m$（测角仪的高度），$DF = CE = 5.5m$，求长城第一墩的高度$AB$（结果精确到$0.1m$，参考数据：$\sin22^{\circ}\approx0.37$，$\cos22^{\circ}\approx0.93$，$\tan22^{\circ}\approx0.40$，$\sin16.7^{\circ}\approx0.29$，$\cos16.7^{\circ}\approx0.96$，$\tan16.7^{\circ}\approx0.30$）。

答案： 17. 根据题意，得$CG \perp AB$，$CD = EF = BG = 1.7 m$。设$EG = x m$。$\because CE = DF = 5.5 m$，$\therefore CG = CE + EG = (x + 5.5) m$。在$Rt \triangle ACG$中，$\angle ACG = 16.7^{\circ}$，$\therefore AG = CG · \tan 16.7^{\circ} \approx 0.3(x + 5.5) m$。在$Rt \triangle AEG$中，$\angle AEG = 22^{\circ}$，
$\therefore AG = EG · \tan 22^{\circ} \approx 0.4x m$。$\therefore 0.4x = 0.3(x + 5.5)$，解得$x = 16.5$。$\therefore AG = 6.6 m$。$\therefore AB = AG + BG = 6.6 + 1.7 = 8.3(m)$。$\therefore$长城第一墩的高度AB约为$8.3 m$