《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

17. (2025·德阳)如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E，$\overset{\frown}{AC} = 2\overset{\frown}{BD}$，连接 AD，过点 B 作⊙O 的切线与 AD 的延长线交于点 F，CD 的延长线与 BF 的延长线交于点 G.
(1) 若∠AFB = 70°，求∠G 的度数.
(2) 连接 CO，AC，再连接 DO 并延长，交 AC 于点 M.
① 求证：DM⊥AC；
② 若 CD·AF = 16，求⊙O 的直径.

答案： 17.
(1)
∵AB是⊙O的直径，BG是⊙O的切线，
∴∠ABF = 90°。
∵∠AFB = 70°，
∴∠BAF = 20°。
∵$\overset\frown{AC}=2\overset\frown{BD}$，
∴∠ADC = 2∠BAF = 40°。
∴∠GDF = ∠ADC = 40°。
∴∠G = ∠AFB - ∠GDF = 70° - 40° = 30°。
(2)①
∵$\overset\frown{AC}=2\overset\frown{BD}$，
∴∠ADC = 2∠BAD。
∵OA = OD，
∴∠OAD = ∠ADO。
∴∠ADC = 2∠ADO。
∴∠ODC = ∠ODA。
∵OC = OD，
∴∠OCD = ∠ODC。
∴∠OCD = ∠OAD。又
∵OC = OA，
∴∠OCA = ∠OAC。
∴∠CAD = ∠ACD。又
∵MD = MD，
∴△CMD≌△AMD。
∴∠AMD = ∠CMD = $\frac{180°}{2}=90°$。
∴DM⊥AC。
②连接BD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°。
∴∠ADB = ∠ABF。又
∵∠BAD = ∠FAB，
∴△ABD∽△AFB。
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AF}$。
∴$AB^{2}=AD· AF$。由①，知∠CAD = ∠ACD。
∴AD = CD。
∴$AB^{2}=CD· AF$。
∵CD·AF = 16，
∴AB = 4，即⊙O的直径为4。

18. (2025·苏州)如图，在四边形 ABCD 中，BD = CD，∠C = ∠BAD. 以 AB 为直径的⊙O 经过点 D，且与边 CD 交于点 E，连接 AE，BE.
(1) 求证：BC 为⊙O 的切线；
(2) 若 AB = $\sqrt{10}$，sin∠AED = $\frac{\sqrt{10}}{10}$，求 BE 的长.

答案： 18.
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°。
∵BD = CD，
∴∠C = ∠DBC。
∵∠C = ∠BAD，
∴∠DBC = ∠BAD。
∴∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠BAD = 180° - 90° = 90°。
∴BC⊥AB。
∵AB是⊙O的直径，且BC⊥AB，
∴BC为⊙O的切线。
(2)过点D作DF⊥BC于点F，则∠BFD = ∠CFD = 90° = ∠ABC。又
∵BD = CD，
∴BF = CF。
∵∠CFD = ∠ABC，
∴DF//AB。
∴∠BDF = ∠ABD。
∵$AB=\sqrt{10}$，$\frac{AD}{AB}=sin∠ABD=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
∴$AD=\frac{\sqrt{10}}{10}AB=\frac{\sqrt{10}}{10}×\sqrt{10}=1$。
∴BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{10})^{2}-1^{2}} = 3$。
∵∠BDF = ∠ABD，
∴$\frac{BF}{BD}=sin∠BDF=sin∠ABD=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
∴$BF=\frac{\sqrt{10}}{10}BD=\frac{\sqrt{10}}{10}×3=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
∵∠BEC + ∠BED = 180°，∠BED + ∠BAD = 180°，
∴∠BEC = ∠BAD。又
∵∠C = ∠BAD，
∴∠BEC = ∠C。
∴BE = BC = 2BF = 2×$\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
∴BE的长是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$。

19. (2025·烟台)如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC = 2∠C，点 D 在线段 CB 的延长线上，且 BD = AB，连接 AD.
(1) 求证：AD 是⊙O 的切线；
(2) 当 AB = 5，AC = 8 时，求 BC 的长及⊙O 的半径.

答案：
19.
(1)如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE。
∵BD = AB，
∴∠D = ∠BAD。
∴∠ABC = ∠D + ∠BAD = 2∠BAD。
∵∠ABC = 2∠C，
∴∠C = ∠BAD = ∠D。
∵∠E = ∠C，
∴∠E = ∠BAD。
∵AE为直径，
∴∠ABE = 90°。
∴∠E + ∠BAE = 90°。
∴∠BAD + ∠BAE = 90°，即∠DAE = 90°。
∴AE⊥AD。
∵AE为直径，
∴AD是⊙O的切线。
(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHC = 90°。由
(1)，得∠D = ∠C，
∴AD = AC = 8。
∵AB = BD，
∴BD = 5。
∵∠BAD = ∠C，∠ADB = ∠CDA，
∴△DAB∽△DCA。
∴DB:DA = DA:DC，即5:8 = 8:DC，解得DC = $\frac{64}{5}$。
∴BC = $\frac{64}{5}-5=\frac{39}{5}$。在Rt△ACH中，
∵AC = 8，$CH=\frac{1}{2}CD=\frac{32}{5}$，
∴$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{8^{2}-(\frac{32}{5})^{2}}=\frac{24}{5}$。
∵AE为直径，
∴∠ABE = 90°。
∵∠E = ∠C，∠ABE = ∠AHC，
∴△ABE∽△AHC。
∴AE:AC = AB:AH，即AE:8 = 5:$\frac{24}{5}$，解得$AE=\frac{25}{3}$。
∴$OE=\frac{1}{2}AE=\frac{25}{6}$，即⊙O的半径为$\frac{25}{6}$。