《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

41. (2025·内江)如图，在平面直角坐标系中，函数$y = \frac{k_1}{x}$（$k_1 \neq 0$，$x ＜ 0$）的图象与一次函数$y = k_2x + b$的图象相交于$A(a,6)$，$B(-6,1)$两点.
(1) 求函数$y = \frac{k_1}{x}$和一次函数$y = k_2x + b$的解析式.
(2) 当$x ＜ 0$时，请根据函数图象，直接写出关于$x$的不等式$k_2x + b - \frac{k_1}{x} \geq 0$的解集.
(3) 过直线$AB$上的点$C$作$CD // x$轴，交反比例函数的图象于点$D$.若点$C$的横坐标为$-4$，求$\triangle BOD$的面积.

答案：
41.
(1)
∵函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0,x＜0)$的图象过点B(−6,1)，
∴$k_1=-6×1 = -6$.
∴函数$y=\frac{k_1}{x}$的解析式为$y=-\frac{6}{x}$.
∵点A(a,6)在函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，
∴6a = −6，解得a = −1.
∴点A的坐标为(−1,6).
∵一次函数y = k_2x + b的图象经过A(−1,6)，B(−6,1)两点，
∴$\begin{cases} -k_2 + b = 6\\ -6k_2 + b = 1 \end{cases}$解得$\begin{cases} k_2 = 1\\ b = 7 \end{cases}$，
∴一次函数y = k_2x + b的解析式为$y = x + 7$
(2)−6＜x≤−1
(3)
∵点C的横坐标为−4，点C在一次函数y = x + 7的图象上，
∴y = −4 + 7 = 3.
∴C(−4,3).在$y=-\frac{6}{x}$中，令y = 3，得$x = -2$，
∴D(−2,3).如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E.
∵B(−6,1)，D(−2,3)，
∴BF = 1，DE = 3，EF = −2 - (−6) = 4.
∵$S_{\triangle BOD}+S_{\triangle BFO}=S_{梯形BFED}+S_{\triangle DEO}$，$S_{\triangle BFO}=S_{\triangle DEO}=\frac{1}{2}\vert k_1\vert = 3$，
∴$S_{\triangle BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(BF + DE)· EF=\frac{1}{2}×(1 + 3)×4 = 8$
　　　　　　　

42. (2025·遂宁)如图，一次函数$y = mx + n$（$m$，$n$为常数，$m \neq 0$）的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图象交于$A(-2,-2)$，$B(a,1)$两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 结合图形，请直接写出不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$的解集；
(3) $P(0,b)$是$y$轴上的一点，若$\triangle ABP$是以$AB$为直角边的直角三角形，求$b$的值.

答案： 42.
(1)
∵点A(−2,−2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴k = (−2)×(−2) = 4.
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$.又
∵点B(a,1)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴a = 4.
∴B(4,1).
∵点A(−2,−2)，B(4,1)在一次函数y = mx + n(m≠0)的图象上，
∴$\begin{cases} -2m + n = -2\\ 4m + n = 1 \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\frac{1}{2}\\ n=-1 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 1$
(2)−2＜x＜0或x＞2
(3)
∵P(0,b)是y轴上的一点，且满足$\triangle ABP$是以AB为直角边的直角三角形，直线AB对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x - 1$，
∴设另一条直角边所在直线对应的函数解析式为$y=-2x + b$.当直角顶点是A(−2,−2)时，则有−2 = −2×(−2) + b，解得b = −6.当直角顶点是B(4,1)时，则有1 = −2×4 + b，解得b = 9.综上所述，b的值为−6或9

43. (2025·自贡)如图，正比例函数$y = kx$的图象与函数$y = -\frac{8}{x}$（$x ＜ 0$）的图象交于点$A(-2,a)$，$B$是线段$OA$上异于端点的一点，过点$B$作$y$轴的垂线，交函数$y = -\frac{8}{x}$（$x ＜ 0$）的图象于点$D$.
(1) 求$k$的值；
(2) 若$BD = 2$，求点$B$的坐标；
(3) 双曲线$y = -\frac{8}{x}$关于$y$轴对称的图象为$y'$，直接写出射线$OA$绕点$O$旋转$90^{\circ}$后与$y'$的交点坐标.

答案： 43.
(1)
∵点A(−2,a)在函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
∴$a=-\frac{8}{−2}=4$.
∴A(−2,4).
∵点A(−2,4)在正比例函数y = kx的图象上，
∴−2k = 4，解得k = −2
(2)
∵点B在直线y = −2x上，
∴设B(m,−2m)(−2＜m＜0).
∵BD⊥y轴且点D在函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
∴$D(\frac{8}{2m},-2m)$.
∵BD = 2，
∴$m-\frac{8}{2m}=2$.整理，得$m² - 2m - 4 = 0$.解得$m = 1 - \sqrt{5}$或$m = 1 + \sqrt{5}$.经检验，$m = 1 - \sqrt{5}$或$m = 1 + \sqrt{5}$均是原分式方程的解.
∵−2＜m＜0，
∴$m = 1 - \sqrt{5}$.
∴B(1 - \sqrt{5},-2 + 2\sqrt{5})
(3)(4,2)或(−4,−2)