《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

29. (2025·新疆)如图，在平面直角坐标系中，直线$y = k_1x + b$($k_1 \neq 0$)与双曲线$y = \frac{k_2}{x}$($k_2 \neq 0$)交于$A(1,4)$，$B(-4,n)$两点，过点$A$作直线$AC \perp AB$交$x$轴于点$C$，连接$BC$，则$\triangle ABC$的面积是20.

答案： 29.20　解析:
∵直线$y=k_1x+b(k_1≠0)$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$交于A(1,4),B(−4,n)两点，
∴$1×4=−4n$，
∴n=−1，
∴B(−4,−1).设C(c,0),则$AB²=(1+4)²+(4+1)²=50$，$AC²=(c−1)²+16$，$BC²=(c+4)²+1$.
∵AC⊥AB,
∴$BC²=AC²+AB²$，
∴$(c+4)²+1=(c−1)²+16+50$，解得c=5，
∴C(5,0).
∴$AC²=(5−1)²+16=32$，
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
∵$AB²=50$，
∴$AB=5\sqrt{2}$.
∴$\triangle ABC$的面积是$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×4\sqrt{2}=20$.

30. (2025·威海)如图，点$A$在函数$y = \frac{4}{x}$($x ＜ 0$)的图象上，点$B$在函数$y = -\frac{2}{x}$($x ＜ 0$)的图象上，连接$OA$，$OB$，$AB$.若$AO \perp BO$，则$\tan \angle BAO =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案：
30.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　解析:如图，过点B作BG⊥y轴，垂足为G,过点A 作AH⊥y轴,垂足为H,则∠AHO=∠OGB=90°.
∵点A 在函数$y=\frac{4}{x}$(x＜0)的图象上，点B在函数$y=-\frac{2}{x}$(x＜0)的图象上，$S_{\triangle AOH}=2$，$S_{\triangle BOG}=1$.
∵AO⊥BO,
∴∠AOB=90°.
∴∠AOH+∠BOG=90°.又
∵∠AOH+∠OAH=90°,
∴∠OAH=∠BOG.
∴$\triangle OAH\sim\triangle BOG$.
∴$\frac{OB²}{OA²}=\frac{S_{\triangle BOG}}{S_{\triangle AOH}}=\frac{1}{2}$.
∴在$Rt\triangle AOB$中,$\tan\angle BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
　　　　　　

31. (2025·安徽)如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + 4$（$a \neq 0$）与函数$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$，$x ＞ 0$）的图象交于$A$，$B$两点.已知点$A$和点$B$的横坐标分别为$6$和$2$.
(1) 求$a$与$k$的值；
(2) 设直线$AB$与$x$轴、$y$轴的交点分别为$C$，$D$，求$\triangle COD$的面积.

答案： 31.
(1)根据题意，得$\begin{cases} \frac {6a + 4} {6}=\frac {k} {6}\\ 2a + 4=\frac {k} {2} \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac {1} {2}\\ k=6 \end{cases}$
(2)由
(1)知，直线AB对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 4$.令y = 0，得x = 8.令x = 0，得y = 4.
∴C(8,0)，D(0,4).
∴OC = 8，OD = 4.
∴$\triangle COD$的面积为$\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×8×4 = 16$

32. (2025·甘肃)如图，一次函数$y = x + 4$的图象交$x$轴于点$A$，交函数$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$，$x ＜ 0$）的图象于点$B(-1,a)$.将一次函数$y = x + 4$的图象向下平移$m$（$m ＞ 0$）个单位长度，所得的图象交$x$轴于点$C$.
(1) 求函数$y = \frac{k}{x}$的解析式；
(2) 当$\triangle ABC$的面积为$3$时，求$m$的值.

答案： 32.
(1)
∵点B(−1,a)在一次函数y = x + 4的图象上，
∴a = −1 + 4 = 3.
∴点B的坐标为(−1,3).又
∵点B(−1,3)在函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象上，
∴k = −3.
∴所求函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$
(2)一次函数y = x + 4的图象向下平移m(m＞0)个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y = x + 4 - m.令y = 0，得x = m - 4.
∴点C的坐标为(m - 4,0).在y = x + 4中，令y = 0，得x = −4，
∴点A的坐标为(−4,0).
∴AC = m - 4 - (−4) = m.
∵点B的坐标为(−1,3)，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}m·3 = 3$，
∴m = 2

33. (2025·广安)如图，一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k \neq 0$）的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$（$m$为常数，$m \neq 0$）的图象交于$A$，$B$两点，点$A$的坐标是$(-8,1)$，点$B$的坐标是$(n,-4)$.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集.

答案： 33.
(1)
∵点A(−8,1)在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$1=\frac{m}{−8}$，解得m = −8.
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$.
∵点B(n,−4)在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
∴−4n = −8，解得n = 2.
∴B(2,−4).
∵点A(−8,1)，B(2,−4)在一次函数y = kx + b的图象上，
∴$\begin{cases} -8k + b = 1\\ 2k + b = -4 \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{2}\\ b=-3 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x - 3$
(2)x＜−8或0＜x＜2