《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

26. (2025·吉林)如图，在矩形$ABCD$中，点$E$，$F$在边$BC$上，连接$AE$，$DF$，$\angle BAE=\angle CDF$。
(1) 求证：$\triangle ABE\cong\triangle DCF$；
(2) 当$AB = 12$，$DF = 13$时，求$BE$的长。

答案： 26.
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = DC，∠B = ∠C = 90°.在△ABE和△DCF中，
$\begin{cases} \angle BAE = \angle CDF, \\ AB = DC, \\ \angle B = \angle C, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DCF
(2) 由
(1)知，△ABE≌△DCF，
∴ AE = DF = 13.在Rt△ABE中，AB = 12，AE = 13，
∴ BE = $\sqrt{AE^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$

27. (2025·云南)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$O$是$AC$的中点，延长$BO$至点$D$，使$OD = OB$，连接$AD$，$CD$。记$AB = a$，$BC = b$，$\triangle AOB$的周长为$l_{1}$，$\triangle BOC$的周长为$l_{2}$，四边形$ABCD$的周长为$l_{3}$。
(1) 求证：四边形$ABCD$是矩形；
(2) 若$l_{2}-l_{1}=2$，$l_{3}=28$，求$AC$的长。

答案： 27.
(1)
∵ O是AC的中点，
∴ OA = OC.
∵ OB = OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠ABC = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形
(2) 由
(1)知，四边形ABCD是矩形，
∴ OA = OB = OC.
∵ AB = a，BC = b，△AOB的周长为$l_1$，△BOC的周长为$l_2$，四边形ABCD的周长为$l_3$，
∴ $l_2 - l_1 = OB + OC + BC - (OA + OB + AB) = BC - AB = b - a = 2$，$l_3 = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28$.
∴ $\begin{cases} b - a = 2, \\ a + b = 14, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 6, \\ b = 8. \end{cases}$
∴ AB = 6，BC = 8.
∴ 在Rt△ABC中，AC = $\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

28. (2025·浙江)【问题背景】
如图，某兴趣小组需要在正方形纸板$ABCD$上剪下机翼状纸板（涂色部分），点$E$在对角线$BD$上。
【数学理解】
(1) 该机翼状纸板由两个全等三角形组成，求证：$\triangle ABE\cong\triangle CBE$；
(2) 若裁剪过程中满足$DE = DA$，求“机翼角”$\angle BAE$的度数。

答案： 28.
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = CB，∠ABD = ∠CBD.在△ABE和△CBE中，
$\begin{cases} AB = CB, \\ \angle ABE = \angle CBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBE
(2)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD = 90°，∠ADB = 45°.
∵ DE = DA，
∴ ∠DAE = ∠DEA = $\frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$.
∴ ∠BAE = ∠BAD - ∠DAE = 22.5°

29. (2025·遂宁)如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，点$E$，$F$在对角线$BD$上，$BE = EF = FD$，且$AF\perp AB$，$CE\perp CD$。
(1) 求证：$\triangle ABF\cong\triangle CDE$；
(2) 连接$AE$，$CF$，若$\angle ABD = 30^{\circ}$，请判断四边形$AECF$的形状，并说明理由。

答案： 29.
(1)
∵ AB//CD，
∴ ∠ABF = ∠CDE.
∵ AF⊥AB，CE⊥CD，
∴ ∠BAF = ∠DCE = 90°.
∵ BE = EF = FD，
∴ BE + EF = FD + EF，即BF = DE.在△ABF和△CDE中，
$\begin{cases} \angle ABF = \angle CDE, \\ \angle BAF = \angle DCE, \\ BF = DE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△CDE
(2) 四边形AECF是菱形 理由：
∵ ∠ABD = 30°，AB//CD，
∴ ∠CDB = ∠ABD = 30°.
∵ BE = EF，∠ABF = 90°，
∴ AE是Rt△ABF的斜边BF上的中线.
∴ AE = $\frac{1}{2}BF$.在Rt△ABF中，∠ABF = 30°，
∴ AF = $\frac{1}{2}BF$.
∴ AE = AF = $\frac{1}{2}BF$.同理CE = CF = $\frac{1}{2}DE$.
∵ BF = DE，
∴ AE = AF = CE = CF.
∴ 四边形AECF是菱形.