《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

21. (2025·扬州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = -x^2 - 2x + 3 $的图象(记为 $ G_1 $)与 $ x $ 轴交于点 $ A $，$ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，二次函数 $ y = x^2 + bx + c $的图象(记为 $ G_2 $)经过点 $ A $，$ C $。直线 $ x = t $与两个图象 $ G_1 $，$ G_2 $分别交于点 $ M $，$ N $，与 $ x $ 轴交于点 $ P $。
(1) 求 $ b $，$ c $的值。
(2) 当点 $ P $ 在线段 $ AO $ 上时，求 $ MN $ 的最大值。
(3) 设点 $ M $，$ N $ 到直线 $ AC $ 的距离分别为 $ m $，$ n $。当 $ m + n = 4 $ 时，对应的 $ t $ 值有2个；当 $ m - n = 3 $ 时，对应的 $ t $ 值有0个；当 $ mn = 2 $ 时，对应的 $ t $ 值有4个；当 $ \frac{m}{n} = 1 $ 时，对应的 $ t $ 值有无数个。

答案：
21.
(1)
∵二次函数$y=-x^{2}-2x+3=-(x+3)(x-1)$，
∴令$y=0$，可得$x=-3$或$x=1$，即$A(-3,0)$，$B(1,0)$．令$x=0$，得$y=3$，
∴$C(0,3)$．把$A(-3,0)$，$C(0,3)$代入$y=x^{2}+bx+c$中，可得$\begin{cases}c = 3\\9 - 3b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 4\\c = 3\end{cases}$．
(2)由
(1)知，$G_{2}$对应的函数解析式为$y=x^{2}+4x+3$．
∵直线$x=t$与两个图象$G_{1}$，$G_{2}$分别交于点$M$，$N$，
∴$M(t,-t^{2}-2t+3)$，$N(t,t^{2}+4t+3)(-3\leq t\leq0)$，
∴$MN=-t^{2}-2t+3-t^{2}-4t-3=-2t^{2}-6t=-2(t+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{2}$，
∴当$t=-\frac{3}{2}$时，$MN$取得最大值，
∴$MN$的最大值为$\frac{9}{2}$．
(3)2　0　4　无数　解析:如图，过点$M$作$MS⊥AC$于点$S$，过点$N$作$NR⊥AC$于点$R$，设$MN$交$AC$于点$E$．
∵$A(-3,0)$，$C(0,3)$，
∴易得直线$AC$对应的函数解析式为$y=x+3$，且$∠CAB = 45^{\circ}$，
∴易得$∠MES = ∠NER = 45^{\circ}$．
∵$MS = m$，$RN = n$，
∴易得$ME=\sqrt{2}m$，$EN=\sqrt{2}n$．
∵$E(t,t + 3)$，
∴$ME = |t^{2}+3t|$，$NE = |t^{2}+3t|$，
∴$ME = NE$，
∴$m = n$．当$m + n = 4$时，即$m = n = 2$，
∴$MN = 4\sqrt{2}$．当$-3\leq t\leq0$时，$MN_{max}=\frac{9}{2}＜4\sqrt{2}$，那么由图可知，当$t ＜ -3$或$t ＞ 1$时，共2种情况满足题意，
∴对应的$t$值有2个．当$m - n = 3$时，即$m = n + 3$，这与$m = n$相矛盾，故不成立，
∴对应的$t$值有0个．当$mn = 2$时，$m = n=\sqrt{2}$，
∴$ME = 2$，
∴$|t^{2}+3t| = 2$，即$t^{2}+3t = ±2$，解得$t = -2$或$-1$或$\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$，
∴对应的$t$值有4个．当$\frac{m}{n}=1$时，
∵$m = n$恒成立，
∴对应的$t$值有无数个．
　　　　　　

22. (2025·山东)已知二次函数 $ y = x(x - a) + (x - a)(x - b) + x(x - b) $，其中 $ a $，$ b $为两个不相等的实数。
(1) 当 $ a = 0 $，$ b = 3 $ 时，求此函数图象的对称轴。
(2) 当 $ b = 2a $ 时，若该函数在 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ 3 \leq x \leq 4 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，求 $ a $ 的取值范围。
(3) 若点 $ A(a,y_1) $，$ B(\frac{a + b}{2},y_2) $，$ C(b,y_3) $均在该函数的图象上，是否存在常数 $ m $，使得 $ y_1 + my_2 + y_3 = 0 $？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，说明理由。

答案： 22.
(1)当$a = 0$，$b = 3$时，二次函数$y=x(x - a)+(x - a)(x - b)+x(x - b)$可化为$y=x(x - 0)+(x - 0)(x - 3)+x(x - 3)=3x^{2}-6x$，
∴此函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$．
(2)当$b = 2a$时，二次函数$y=x(x - a)+(x - a)(x - b)+x(x - b)$可化为$y=x(x - a)+(x - a)(x - 2a)+x(x - 2a)=3x^{2}-6ax+2a^{2}$，
∴该函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$．
∵$3＞0$，
∴该函数图象开口向上．
∵在$0\leq x\leq1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴$a\geq1$．
∵在$3\leq x\leq4$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴$a\leq3$，
∴$1\leq a\leq3$．
(3)存在．
∵点$A(a,y_{1})$，$B(\frac{a + b}{2},y_{2})$，$C(b,y_{3})$均在该函数的图象上，
∴$y_{1}=a(a - a)+(a - a)(a - b)+a(a - b)=a^{2}-ab$．
∵$y=x(x - a)+(x - a)(x - b)+x(x - b)=3x^{2}-2(a + b)x+ab$，
∴$y_{2}=3(\frac{a + b}{2})^{2}-2(a + b)(\frac{a + b}{2})+ab=3×\frac{(a + b)^{2}}{4}-(a + b)^{2}+ab=-\frac{(a + b)^{2}}{4}+ab=-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^{2}+ab=-\frac{1}{4}a^{2}+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^{2}=-\frac{1}{4}(a^{2}-2ab + b^{2})=-\frac{1}{4}(a - b)^{2}$，$y_{3}=b(b - a)+(b - a)(b - b)+b(b - b)=b^{2}-ab$．
∵$y_{1}+my_{2}+y_{3}=0$，
∴$a^{2}-ab+m[-\frac{1}{4}(a - b)^{2}]+b^{2}-ab=0$，整理得$(a - b)^{2}(1-\frac{1}{4}m)=0$．
∵$a$，$b$为两个不相等的实数，
∴$a - b\neq0$，
∴$1-\frac{1}{4}m=0$，解得$m = 4$．