《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

6. (2025·云南)已知a是常数，函数$y=(x + 4)(x - a^{2}+a - 3)+1$，记$T=\frac{a^{2}}{4}+\frac{4}{a^{2}+1}$。
(1)若$x = - 4$，$a = 1$，求y的值；
(2)若$x = 3a + 2$，$y = 1$，比较T与3的大小。

答案： 6.
(1)把x = -4，a = 1代入函数y = (x + 4)(x - a² + a - 3) + 1，得y = (-4 + 4)(-4 - 1² + 1 - 3) + 1 = 1，
∴y的值为1。
(2)将x = 3a + 2，y = 1代入函数y = (x + 4)(x - a² + a - 3) + 1，得(3a + 2 + 4)(3a + 2 - a² + a - 3) + 1 = 1，整理得-3(a + 2)(a² - 4a + 1) = 0。
①当a + 2 = 0，即a = -2时，T = $\frac{(-2)²}{4}$ + $\frac{4}{(-2)² + 1}$ = $\frac{9}{5}$ ＜ 3。
②当a² - 4a + 1 = 0时，易知a ≠ 0，a² = 4a - 1，a² + 1 = 4a，
∴a + $\frac{1}{a}$ = 4，
∴T = $\frac{4a - 1}{4}$ + $\frac{4}{4a}$ = a - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{a}$ = 4 - $\frac{1}{4}$ = $\frac{15}{4}$ ＞ 3。
综上所述，当a = -2时，T ＜ 3；当a² - 4a + 1 = 0时，T ＞ 3。

7. (2025·眉山)如图，一次函数$y = ax + b$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象相交于$A(1,4)$，$B(4,m)$两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P在x轴的负半轴上，且$\triangle AOC$与$\triangle POD$相似，求点P的坐标。

答案： 7.
(1)
∵点A(1,4)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象上，
∴4 = $\frac{k}{1}$，即k = 4，
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{4}{x}$。
∵点B(4,m)在反比例函数y = $\frac{4}{x}$的图象上，
∴m = $\frac{4}{4}$ = 1，
∴B(4,1)。
∵一次函数y = ax + b的图象经过A(1,4)、B(4,1)两点，
∴$\begin{cases}4 = a + b \\1 = 4a + b \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\b = 5 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为y = -x + 5。
(2)设P(m,0)(m ＜ 0)。
∵点D与点A关于点O对称，A(1,4)，
∴OA = OD = $\sqrt{1² + 4²}$ = $\sqrt{17}$。
在y = -x + 5中，令y = 0，得x = 5，
∴C(5,0)，
∴OC = 5。
∵△AOC与△POD相似，∠AOC = ∠POD，
∴△AOC∽△DOP或△AOC∽△POD，
∴$\frac{OA}{OD}$ = $\frac{OC}{OP}$或$\frac{OA}{OP}$ = $\frac{OC}{OD}$。
∴$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ = $\frac{5}{OP}$，解得OP = 5；$\frac{\sqrt{17}}{OP}$ = $\frac{5}{\sqrt{17}}$，解得OP = $\frac{17}{5}$。
∴点P的坐标为(-5,0)或(-$\frac{17}{5}$,0)。

8. (2025·成都)如图，在平面直角坐标系中，直线$y = - x + b$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象的一个交点为$A(a,2)$，与x轴的交点为$B(3,0)$。
(1)求k的值。
(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上。若$\angle ACD = 90^{\circ}$，求直线AD对应的函数解析式。
(3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A)，连接BE。若$\triangle BEP$的面积为2，求点E的坐标。

答案：
8.
(1)
∵直线y = -x + b与x轴的交点为B(3,0)，
∴0 = -3 + b，解得b = 3，
∴一次函数的解析式为y = -x + 3。
∵点A(a,2)在一次函数y = -x + 3的图象上，
∴2 = -a + 3，解得a = 1，
∴点A的坐标为(1,2)。
∵点A(1,2)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象上，
∴k = 1×2 = 2。
(2)如图。由
(1)得反比例函数的解析式为y = $\frac{2}{x}$。
∵直线AO与反比例函数的图象在第二象限交于点C，点A(1,2)，
∴点C的坐标为(-1,-2)，
∴AC² = (1 + 1)² + (2 + 2)² = 20。
设点D的坐标为(m,$\frac{2}{m}$)，
∴AD² = (1 - m)² + (2 - $\frac{2}{m}$)²，CD² = (-1 - m)² + (-2 - $\frac{2}{m}$)²。
∵∠ACD = 90°，
∴AD² = CD² + AC²，
∴(1 - m)² + (2 - $\frac{2}{m}$)² = (-1 - m)² + (-2 - $\frac{2}{m}$)² + 20，解得m = -4或-1(舍去)，
∴点D的坐标为(-4,-$\frac{1}{2}$)。
设直线AD对应的函数解析式为y = k₁x + b₁(k₁ ≠ 0)，把(-4,-$\frac{1}{2}$)、(1,2)代入，得$\begin{cases}-4k₁ + b₁ = -\frac{1}{2} \\k₁ + b₁ = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁ = \frac{1}{2} \\b₁ = \frac{3}{2} \end{cases}$，
∴直线AD对应的函数解析式为y = $\frac{1}{2}$x + $\frac{3}{2}$。
(3)设点E的坐标为(t,$\frac{2}{t}$)，直线AE对应的函数解析式为y = k₂x + b₂。
把(t,$\frac{2}{t}$)、(1,2)代入，得$\begin{cases}tk₂ + b₂ = \frac{2}{t} \\k₂ + b₂ = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = -\frac{2}{t} \\b₂ = \frac{2t + 2}{t} \end{cases}$，
∴直线AE对应的函数解析式为y = -$\frac{2}{t}$x + $\frac{2t + 2}{t}$。
当y = 0时，0 = -$\frac{2}{t}$x + $\frac{2t + 2}{t}$，解得x = t + 1，
∴点P的坐标为(t + 1,0)，
∴BP = |t + 1 - 3| = |t - 2|。
∴$S_{\triangle BEP}$ = $\frac{1}{2}$BP·|y_E| = $\frac{1}{2}$×|t - 2|×|$\frac{2}{t}$| = 2，整理得|2 - $\frac{4}{t}$| = 4，解得t = $\frac{2}{3}$或t = -2。
经检验，t = $\frac{2}{3}$或t = -2均是原分式方程的解，且符合题意，
∴点E的坐标为(-2,-1)或($\frac{2}{3}$,3)。