《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

8. (2025·凉山)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $的部分图象如图所示，其对称轴为直线 $ x = 2 $，且图象经过点 $ (6,0) $，则下列结论错误的是(D)

A.$ bc ＞ 0 $
B.$ 4a + b = 0 $
C.若 $ ax_1^2 + bx_1 = ax_2^2 + bx_2 $且 $ x_1 \neq x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = 4 $
D.若 $ (-1,y_1) $，$ (3,y_2) $两点都在抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $上，则 $ y_2 ＜ y_1 $

答案： 8.D

9. (2025·绥化)如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(3,0) $，$ B(-1,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,m) $，其中 $ -4 ＜ m ＜ -3 $。有下列结论：① $ a - c ＞ 0 $；②方程 $ ax^2 + bx + c - 5 = 0 $没有实数根；③ $ -\frac{8}{3} ＜ b ＜ -2 $；④ $ \frac{a + b + c}{b - a} ＞ 0 $。其中，错误的有(A)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 9.A

10. (2025·泸州)已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $的对称轴为直线 $ x = 1 $，与 $ y $ 轴的交点位于 $ x $ 轴下方，且 $ x = -1 $ 时，$ y ＞ 0 $，则下列结论正确的是(D)

A.$ 2a = b $
B.$ b^2 - 4ac ＜ 0 $
C.$ a - 2b + 4c ＜ 0 $
D.$ 8a + c ＞ 0 $

答案： 10.D

11. (2025·广州)在平面直角坐标系中，点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $在抛物线 $ y = ax^2 - 2ax(a ＞ 0) $上，则下列结论正确的是(A)

A.当 $ x_1 ＜ 0 $ 且 $ y_1y_2 ＜ 0 $ 时，$ 0 ＜ x_2 ＜ 2 $
B.当 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $
C.当 $ x_1 ＜ 0 $ 且 $ y_1y_2 ＞ 0 $ 时，$ 0 ＜ x_2 ＜ 2 $
D.当 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 1 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $

答案： 11.A解析:
∵$y=ax^{2}-2ax(a＞0)$，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，且抛物线过点$(0,0)$，$(2,0)$．把$x=1$代入$y=ax^{2}-2ax$，得$y=a-2a=-a$，
∴顶点坐标为$(1,-a)$．
∵点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在抛物线$y=ax^{2}-2ax(a＞0)$上，
∴当$x_{1}＜0$时，$y_{1}＞0$．又
∵$y_{1}y_{2}＜0$，
∴$y_{2}＜0$．
∴$0＜x_{2}＜2$．故A选项的结论正确．
∵当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x_{1}＜x_{2}＜1$时，$y_{1}＞y_{2}$．故B选项的结论错误．当$x_{1}＜0$且$y_{1}y_{2}＞0$时，$y_{2}＞0$，此时$x_{2}$应满足$x_{2}＜0$或$x_{2}＞2$．故C选项的结论错误．当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵$x_{1}＞x_{2}$，
∴$y_{1}＞y_{2}$．故D选项的结论错误．

12. (2025·齐齐哈尔)如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $的图象与 $ x $ 轴交于点 $ (-1,0) $，$ (x_1,0) $，且 $ 2 ＜ x_1 ＜ 3 $。有下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ 2a + c ＜ 0 $；③ $ 4a - b + 2c ＜ 0 $；④若 $ m $ 和 $ n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a(x + 1)(x - x_1) + c = 0(a \neq 0) $的两根，且 $ m ＜ n $，则 $ m ＜ -1 $，$ n ＞ 2 $；⑤关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ -\frac{c}{x_1}x + c(a \neq 0) $的解集为 $ 0 ＜ x ＜ x_1 $。其中，正确结论的个数是(B)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案：
12.B解析:
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$．
∵抛物线与$y$轴交于负半轴，
∴当$x=0$时，$y=c＜0$．又
∵抛物线与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(x_{1},0)$，且$2＜x_{1}＜3$，
∴$1＜-1+x_{1}＜2$，
∴$\frac{1}{2}＜\frac{-1+x_{1}}{2}＜1$．
∴对称轴是直线$x=\frac{-1+x_{1}}{2}=-\frac{b}{2a}＞0$，即$\frac{b}{2a}=\frac{1-x_{1}}{2}$，又$1-x_{1}＜0$，
∴$\frac{b}{2a}＜0$，
∴$b＜0$，
∴$abc＞0$．故①正确．由题图，可得当$x=2$时，$y=4a+2b+c＜0$．又
∵当$x=-1$时，$y=a-b+c=0$，
∴$b=a+c$．
∴$4a+2b+c=4a+2a+2c+c=6a+3c＜0$，
∴$2a+c＜0$．故②正确．
∵$\frac{1}{2}＜\frac{-1+x_{1}}{2}＜1$，且对称轴是直线$x=\frac{-1+x_{1}}{2}=-\frac{b}{2a}$，
∴$\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜1$．
∵$a＞0$，
∴$a＜-b＜2a$，
∴$2a+b＞0$，
∴$2a+a+c＞0$，即$3a+c＞0$，
∴$4a-b+2c=4a-a-c+2c=3a+c＞0$．故③错误．
∵二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(x_{1},0)$，
∴$y=ax^{2}+bx+c=a(x+1)(x-x_{1})$．又
∵$m$，$n$为方程$a(x+1)(x-x_{1})+c=0$的两根，
∴易得$m$，$n$为二次函数$y=a(x+1)(x-x_{1})$的图象与直线$y=-c$的交点的横坐标．
∵$m＜n$，
∴如图①，可得$m＜-1$，$n＞2$．故④正确．
∵易得函数$y=-\frac{c}{x_{1}}x+c$的图象恒过点$(0,c)$，$(x_{1},0)$，
∴作出图象如图②所示．
∴由图②，易得关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c＞-\frac{c}{x_{1}}x+c(a≠0)$的解集是$x＜0$或$x＞x_{1}$．故⑤错误．综上所述，正确的结论是①②④，共3个．
　　

13. (2025·上海)抛物线 $ y = 3x^2 $向下平移两个单位长度所得的抛物线对应的函数解析式为$y=3x^{2}-2$。

答案： 13.$y=3x^{2}-2$

14. (2025·广东)已知二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $的图象经过点 $ (c,0) $，但不经过原点，则该二次函数的解析式可以是$y=-x^{2}+x+2$(答案不唯一)(写出一个即可)。

答案： 14.$y=-x^{2}+x+2$(答案不唯一)

15. (2024·牡丹江)抛物线 $ y = ax^2 + bx + 3 $向下平移 5 个单位长度后，经过点 $ (-2,4) $，则 $ 6a - 3b - 7 = $2。

答案： 15.2

16. (2024·苏州)已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $的图象过点 $ A(0,m) $，$ B(1,-m) $，$ C(2,n) $，$ D(3,-m) $，其中 $ m $，$ n $为常数，则 $ \frac{m}{n} $的值为$-\frac{3}{5}$。

答案： 16.$-\frac{3}{5}$