《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

1. (2025·宜宾)如图，O是坐标原点，已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴为直线$x = - 2$，其中$A(2,0)$，$B(0,c)$，且$-3\lt c\lt - 2$。有下列结论：①$abc\gt0$；②$\frac{2}{3}\lt b\lt1$；③$\triangle ACD$是钝角三角形；④若方程$ax^{2}+(b - 2)x + c = 0$的两根分别为$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\lt x_{2})$，则$-2\lt x_{1}\lt4 - 2\sqrt{7}$，$6\lt x_{2}\lt4 + 2\sqrt{7}$。其中，正确的有(C)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 1.C

2. (2025·烟台)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象与x轴的一个交点A位于点$(-2,0)$和点$(-1,0)$之间，顶点P的坐标为$(1,n)$。有下列结论：①$abc\lt0$；②对于任意实数m，都有$am^{2}+bm - a - b\geqslant0$；③$3b\lt2c$；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且$\triangle PAB$是等边三角形，则$n = -\frac{3}{a}$。其中，正确的是（D）

A.①②
B.①③
C.①④
D.①③④

答案：
2.D解析:
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，c＞0，$-\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①符合题意。
∵顶点P的坐标为(1,n)，
∴当x = 1时，n = a + b + c最大。当x = m时，y = am² + bm + c，
∴a + b + c ≥ am² + bm + c，
∴am² + bm - a - b ≤ 0，故②不符合题意。
∵二次函数y = ax² + bx + c的部分图象与x轴的一个交点A位于点(-2,0)和点(-1,0)之间，对称轴为直线x = 1，
∴$-\frac{b}{2a}$ = 1，a - b + c＞0，
∴a = $-\frac{1}{2}$b，$-\frac{1}{2}$b - b + c＞0，
∴3b ＜ 2c，故③符合题意。
如图，记直线x = 1与x轴交于点H。
∵△PAB为等边三角形，
∴PA = AB = PB，PH⊥AB，HA = HB，∠PAB = 60°，
∴PH = tan60°·AH。
记点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，
∴n = $\sqrt{3}$(x₂ - 1) = $\sqrt{3}$(1 - x₁)，
∴2n = $\sqrt{3}$(x₂ - x₁)。
在y = ax² + bx + c中，令y = 0，得ax² + bx + c = 0，则x₁ + x₂ = $-\frac{b}{a}$ = 2，x₁x₂ = $\frac{c}{a}$，
∴x₂ - x₁ = $\sqrt{(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂}$ = $\sqrt{4 - \frac{4c}{a}}$ = $\sqrt{\frac{4a - 4c}{a}}$ = $\sqrt{3} · \sqrt{\frac{a - c}{a}}$ = $\sqrt{\frac{3a - 3c}{a}}$。
∵n = a + b + c = a + (-2a) + c = c - a，
∴c - a = $\sqrt{\frac{3a - 3c}{a}}$，
∴a(a - c) = 3，
∴n = $\frac{\sqrt{3a(a - c)}}{a}$ = $\frac{3}{a}$，故④符合题意。
综上所述，正确的是①③④。

3. (2025·眉山)如图①，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点D在AC上，$CD = \sqrt{2}$，动点P在$Rt\triangle ABC$的边上沿$C\rightarrow B\rightarrow A$的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF。设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S。当点P由点B运动到点A时，如图②，S是关于t的二次函数。在3个时刻$t_{1}$，$t_{2}$，$t_{3}(t_{1}\lt t_{2}\lt t_{3})$对应的正方形DPEF的面积均相等。有下列四个结论：①当$t = 1$时，$S = 3$；②当点P在线段BA上时，$S = 2t^{2}-16t + 34$；③$AD = 4\sqrt{2}$；④$t_{1}+t_{2}=4$。其中，正确的有（B）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 3.B

4. (2025·南通)在平面直角坐标系中，以点$A(3,0)$为

圆

心，$\sqrt{13}$为半径作$\odot A$，直线$y = kx - 3k + 2$与$\odot A$交于B，C两点，则BC长的最小值为6。

答案： 4.6

5. (2025·吉林)如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$的图象交于A，B两点，分别以点A，B为圆心，画半径为1的$\odot A$和$\odot B$。当$\odot A$，$\odot B$分别与x轴相切时，切点分别为C和D，连接AC，BD，则涂色部分图形的面积和为$\frac{π}{3}$(结果保留$\pi$)。

答案： 5.$\frac{π}{3}$