《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

9. (2025·浙江)如图，在△ABC 中，AB = AC，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OB 长为半径的半圆，交 BC 于点 D，与 AC 相切于点 E，连接 OD，OE.
(1) 求证：OD⊥OE；
(2) 若 AB = BC，OB = $\sqrt{3}$，求四边形 ODCE 的面积.

答案： 9.
(1)
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C。由题意，得OB = OD，
∴∠B = ∠ODB。
∴∠ODB = ∠C。
∴OD//AC。
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC。
∴OD⊥OE。
(2)
∵AB = AC，AB = BC，
∴△ABC为等边三角形。
∴∠A = 60°。
∵OE⊥AC，
∴∠AEO = 90°。
∵OE = OD = OB = $\sqrt{3}$，
∴在Rt△AEO中，$OA=\frac{OE}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$，$AE=\frac{OE}{tanA}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$。
∴AB = 2 + $\sqrt{3}$。
∴AC = AB = 2 + $\sqrt{3}$。
∴EC = AC - AE = 2 + $\sqrt{3}$ - 1 = 1 + $\sqrt{3}$。
∴易得四边形ODCE的面积为$\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=3+\frac{\sqrt{3}}{2}$。

10. (2025·湖北)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC = 45°. 过点 O 作 DF⊥AB，垂足为 E，交 AC 于点 D，交⊙O 于点 F. 过点 F 作⊙O 的切线，交 CA 的延长线于点 G.
(1) 求证：FD = FG；
(2) 若 AB = 12，FG = 10，求⊙O 的半径.

答案： 10.
(1)
∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，
∴∠DEA = ∠DFG = 90°。
∴AB//GF。
∴∠DAC = ∠G = 45°。
∴∠FDG = 90° - 45° = 45°。
∴∠G = ∠FDG。
∴FD = FG。
(2)
∵DF⊥AB，
∴$AE = BE = \frac{1}{2}AB = 6$。由
(1)，得∠ADE = 45°。
∴∠ADE = ∠BAC。
∴EA = ED = 6。由
(1)，得FD = FG = 10，
∴EF = DF - DE = 10 - 6 = 4。连接OA。设OE = x，则OF = OE + EF = x + 4 = OA。
∴在Rt△AOE中，$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$，即$(x + 4)^{2}=6^{2}+x^{2}$，解得$x = \frac{5}{2}$。
∴$OA = x + 4 = \frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$。
∴⊙O的半径为$\frac{13}{2}$。

11. (2025·天津)已知 AB 与⊙O 相切于点 C，OA = OB，∠AOB = 80°，OB 与⊙O 相交于点 D，E 为⊙O 上一点.
(1) 如图①，求∠CED 的大小；
(2) 如图②，当 EC//OA 时，EC 与 OB 相交于点 F，延长 BO 与⊙O 相交于点 G，若⊙O 的半径为 3，求 ED 和 EG 的长.

答案： 11.
(1)连接OC。
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB。
∵OA = OB，∠AOB = 80°，
∴∠COB = ∠COA = $\frac{1}{2}$∠AOB = 40°。
∴∠CED = $\frac{1}{2}$∠COB = 20°。
(2)连接OC。
∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3，
∴∠DEG = 90°，DG = 6。
∵EC//OA，
∴∠EFG = ∠AOB = 80°。由
(1)，得∠CED = 20°，
∴∠EDG = ∠EFG - ∠CED = 60°。
∴∠G = 90° - 60° = 30°。
∴$ED=\frac{1}{2}DG = 3$。
∴$EG=\sqrt{DG^{2}-ED^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
∴ED的长是3，EG的长是$3\sqrt{3}$。

12. (2025·山东)如图，在△OAB 中，点 A 在⊙O 上，边 OB 交⊙O 于点 C，AD⊥OB 于点 D，AC 是∠BAD 的平分线.
(1) 求证：AB 为⊙O 的切线；
(2) 若⊙O 的半径为 2，∠AOB = 45°，求 CB 的长.

答案： 12.
(1)
∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB = 90°。
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC = ∠BAC。
∵OA = OC，
∴∠OAC = ∠OCA。
∵∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC，∠OCA = ∠B + ∠BAC，
∴∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC。
∴∠OAD = ∠B。
∴∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠B + ∠BAD = 180° - 90° = 90°。
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB为⊙O的切线。
(2)
∵∠OAB = 90°，∠AOB = 45°，
∴∠B = ∠AOB = 45°。
∴AB = OA。
∵⊙O的半径为2，
∴AB = OA = OC = 2。
∴$OB=\sqrt{AB^{2}+OA^{2}} = 2\sqrt{2}$。
∴CB = OB - OC = 2$\sqrt{2}$ - 2。
∴CB的长是2$\sqrt{2}$ - 2。