《2026年通城学典全国中考试题分类精粹中考数学》

25. (2025·广安)已知方程 $x^{2}-5x - 24 = 0$ 的两根分别为 $a$ 和 $b$,则代数式 $a^{2}-4a + b$ 的值为29.

答案： 25.29

26. (2024·成都)若 $m,n$ 是一元二次方程 $x^{2}-5x + 2 = 0$ 的两个实数根,则 $m + (n - 2)^{2}$ 的值为7.

答案： 26.7

27. (2025·泸州)若一元二次方程 $2x^{2}-6x - 1 = 0$ 的两根为 $\alpha,\beta$,则 $2\alpha^{2}-3\alpha + 3\beta$ 的值为10.

答案： 27.10

28. (2025·南充)设 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(x - 1)(x - 2) = m^{2}$ 的两根.
(1) 当 $x_{1} = -1$ 时,求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值;
(2) 求证: $(x_{1}-1)(x_{2}-1)\leqslant 0$.

答案： 28.
(1)把$x_1 = -1$代入方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$，得
$m^2 = 6$，$\therefore m = \pm \sqrt{6}$。$\therefore (x - 1)(x - 2) = 6$，即$x^2 - 3x - 4 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 4$。$\therefore x_2 = 4$，$m = \pm \sqrt{6}$
(2)方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。$\because (-3)^2 - 4(2 - m^2) = 4m^2 + 1 ＞ 0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
$\because x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = 3$，
$x_1 · x_2 = 2 - m^2$。$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 · x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$。$\because m^2 \geqslant 0$，$\therefore -m^2 \leqslant 0$，即
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) \leqslant 0$

29. (2024·南充)已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$ 的两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围;
(2) 若 $k ＜ 5$,且 $k,x_{1},x_{2}$ 都是整数,求 $k$ 的值.

答案： 29.
(1)$\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore (-2k)^2 - 4 × 1 × (k^2 - k + 1) = 4k^2 - 4k^2 + 4k - 4 = 4k - 4 ＞ 0$，解得
$k ＞ 1$
(2)$\because 1 ＜ k ＜ 5$，$\therefore$整数$k$的值为2或3或4.当$k = 2$时，方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$，符合题意。
当$k = 3$时，方程为$x^2 - 6x + 7 = 0$，解得$x = 3 + \sqrt{2}$或$x = 3 - \sqrt{2}$，不符合题意，舍去。当$k = 4$时，方程为$x^2 - 8x + 13 = 0$，解得$x = 4 + \sqrt{3}$或$x = 4 - \sqrt{3}$，不符合题意，舍去。综上所述，$k$的值为2

30. (2025·威海)如图,某校有一块长 $20m$、宽 $14m$ 的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为 $24m^{2}$ 的 $9$ 个矩形地块,求小路的宽度.

答案： 30.设小路的宽度为$x$m，则9个矩形地块可合成长为$(20 - 4x)$m、宽为$(14 - 4x)$m的矩形。根据题意，得$(20 - 4x) · (14 - 4x) = 24 × 9$。整理，得$2x^2 - 17x + 8 = 0$，解得$x_1 = \frac{1}{2}$，
$x_2 = 8$(不合题意，舍去)。$\therefore$小路的宽度为$\frac{1}{2}$m