《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 2（链教材 P106 例 2、例 3）对下列各式进行根式与分数指数幂的互化，并计算下列各式：
(1)$36^{\frac{1}{2}}$；
(2)$(6\frac{1}{4})^{- \frac{1}{2}}$；
(3)$\sqrt[ ]{ - \frac{8}{125}}$；
(4)$\sqrt[3]{a^6}$；
(5)$\frac{1}{\sqrt{a^3}}(a ＞ 0)$；
(6)$\sqrt{a}\sqrt{a}(a ＞ 0)$.
听课笔记：

答案：
(1)$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
(2)$\left( 6\frac{1}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{25}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{4}{25} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$.
(3)$\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} = \left( -\frac{8}{125} \right)^{\frac{1}{3}} = \left[ \left( -\frac{2}{5} \right)^3 \right]^{\frac{1}{3}} = -\frac{2}{5}$.
(4)$\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$.
(5)当$a ＞ 0$时，$\frac{1}{\sqrt{a^3}} = \frac{1}{a^{\frac{3}{2}}} = a^{-\frac{3}{2}}$.
(6)当$a ＞ 0$时，$\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a · a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = a^{\frac{3}{4}}$.

对点练 2. (1)化简$(\frac{125}{27})^{- \frac{1}{3}}$的结果是 (A)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{5}{3}$
C.3
D.5

答案：
(1)A

(2)$\sqrt[3]{a} · \sqrt{a}(a ＞ 0)$的分数指数幂表示为 (A)

A.$a^{\frac{1}{2}}$
B.$a^{\frac{3}{2}}$
C.$a^{\frac{3}{4}}$
D.以上都不对

答案：
(2)A

(3)化简$\sqrt{a} · \sqrt[3]{a^2}(a ＞ 0)$的结果是 (B)

A.$\sqrt[3]{a}$
B.$\sqrt[6]{a^7}$
C.$\frac{1}{a}\sqrt[6]{a}$
D.$\sqrt[6]{a}$

答案：
(3)B

典例 3(链教材 P107 例 4)
(1)$\frac{(a^{\frac{2}{3}}b^{- 1})^{- \frac{1}{2}}a^{- \frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{ab^5}} =$$\frac{1}{a}$.(式中字母均是正数)

答案：
(1)$\frac{1}{a}$

(2) 计算：$\sqrt{\frac{25}{9}} - (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} - (\pi - 3)^0 + (\frac{1}{4})^{- \frac{1}{2}} =$2.
听课笔记：

答案：
(2)2

对点练 3. (1)$(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - ( - 2)^0 - (\frac{27}{8})^{- \frac{2}{3}} + (\frac{3}{2})^{- 2}$；

答案：
(1)原式$= \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} - 1 - \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right]^{-\frac{2}{3}} + \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{2} - 1 - \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{2}$.

(2)$2x^{\frac{1}{4}}( - 3x^{\frac{1}{4}}y^{- \frac{1}{3}}) ÷ ( - 6x^{- \frac{3}{2}}y^{- \frac{4}{3}})(x,y ＞ 0)$.

答案：
(2)原式$= \left[ 2 × (-3) ÷ (-6) \right]x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} y^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = x^2 y$.