《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

?问题导思
（阅读教材 P7，完成探究问题 1）
问题 1. 观察下面的几个例子：
(1)$A = \{1, 2, 3\}, B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$；
(2)$A = \{$高一年级的女生$\}, B = \{$高一年级的全体学生$\}$；
(3)$A = \{x \mid x = 2k, k \in \mathbf{Z}\}, B = \{$偶数$\}$.
上述实例中，集合$A$中的元素都是集合$B$中的元素吗？实例(3)中，集合$B$中的元素都是集合$A$中的元素吗？

答案： 集合$A$中的元素都是集合$B$中的元素；实例
(3)中，集合$B$中的元素都是集合$A$中的元素。

新知 构建
1. 子集

答案： 任意一个 $ \subseteq $ $ \supseteq $

［微思考］ 1. 任何两个集合之间是否都有包含关系？
2. 符号“$\in$”与“$\subseteq$”有什么不同？

答案： 1. 不是任何两个集合之间都有包含关系。例如集合$A = \{1,3\}$，集合$B = \{2,4\}$，这两个集合就没有包含关系。
2. “$\in$”是表示元素与集合之间的关系，比如$a\in A$，表示$a$是集合$A$中的一个元素；“$\subseteq$”是表示集合与集合之间的关系，比如$A\subseteq B$，表示集合$A$中的所有元素都是集合$B$中的元素。
集合相等：
文字叙述：如果集合$A$的每一个元素都是集合$B$的元素，同时集合$B$的每一个元素都是集合$A$的元素，那么集合$A$与集合$B$相等。
符号表示：若$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，则$A = B$。

2. 集合相等

答案： 任何 任何 $A\subseteq B$且$B\subseteq A$

典例 1 （链教材 P9 练习 T3）判断下列两个集合之间的关系：
(1)$A = \{ - 1, 1\}$，$B = \{( - 1, - 1), ( - 1, 1), (1, - 1), (1, 1)\}$；
(2)$A = \{x \mid - 1 ＜ x ＜ 4\}$，$B = \{x \mid x - 5 ＜ 0\}$；
(3)$A = \{x \mid x$是正方形$\}$，$B = \{x \mid x$是矩形$\}$；
(4)$M = \{x \mid x = 2n - 1, n \in \mathbf{N}^{*}\}$，$N = \{x \mid x = 2n + 1, n \in \mathbf{N}^{*}\}$.
听课笔记：

答案：
解:
(1)集合$A$的代表元素是数，集合$B$的代表元素是有序实数对，故$A$与$B$之间无包含关系。
(2)集合$B = \{x|x ＜ 5\}$，用数轴表示集合$A$，$B$，如图所示，由图可知$A\subseteq B$。
　　　　　　　　　
(3)正方形是特殊的矩形，故$A\subseteq B$。
(4)$M = \{正奇数\}$，$N = \{不含1的正奇数\}$，故$N\subseteq M$。