《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 2
(1) 若指数函数 $f(x)$ 的图象过点 $(-2, \frac{1}{9})$，则 $f(3) =$27；
(2) 若指数函数 $f(x)$ 满足 $f(2) - f(1) = 6$，则 $f(3) =$27.
听课笔记：

答案：
(1)27
(2)27
(1)设指数函数$ f(x) = a^x(a ＞ 0, 且 a \neq 1) $，因为其图象经过点$ \left( -2, \frac{1}{9} \right) $，所以$ a^{-2} = \frac{1}{9} $，解得$ a = 3 $，函数的解析式为$ f(x) = 3^x $，则$ f(3) = 3^3 = 27 $。
(2)设指数函数$ f(x) = a^x(a ＞ 0, 且 a \neq 1) $，由$ f(2) - f(1) = 6 $得$ a^2 - a = 6 $，解得$ a = -2 $（舍去）或$ a = 3 $，函数的解析式为$ f(x) = 3^x $，则$ f(3) = 3^3 = 27 $。

对点练 2. 已知函数 $y = f(x)$ 是指数函数，且 $f(2) = 4$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；
(2) 求 $f(-2), f(4)$.

答案： 解：
(1)设函数$ f(x) = a^x $，$ a ＞ 0 $，且$ a \neq 1 $，
则有$ a^2 = 4 $，解得$ a = 2 $（舍负），所以函数$ f(x) $的解析式为$ f(x) = 2^x $。
(2)由
(1)可知$ f(x) = 2^x $，
所以$ f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4} $，$ f(4) = 2^4 = 16 $。

典例 3
(1) 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 $6.25\%$ 的增长率呈指数增长，已知经过 30 天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的 6 倍，那么经过 60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 (C)
A.18 倍
B.24 倍
C.36 倍
D.48 倍

答案：
(1)C
(1)设湖泊中原来的蓝藻数量为$ a $，则$ a(1 + 6.25\%)^{30} = 6a $，所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量为$ a(1 + 6.25\%)^{60} = a[(1 + 6.25\%)^{30}]^2 = 36a $。所以经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍。故选C。

(2) 已知某种产品的生产成本每年降低 $25\%$. 若该产品 2022 年年底的生产成本为 6 400 元/件，则 2025 年年底的生产成本为2 700元/件.
听课笔记：

答案：
(2)2 700
(2)由题意得，2025年年底的生产成本为$ 6400 × (1 - 25\%)^3 = 6400 × \left( \frac{3}{4} \right)^3 = 2700 $（元/件）。

对点练 3. 有容积相等的桶 A 和桶 B，开始时桶 A 中有 $a$ 升水，桶 B 中无水. 现把桶 A 中的水注入桶 B，$t$ 分钟后，桶 A 中的水剩余 $y_1 = am^t$(升)，其中 $m$ 为正常数. 假设 5 分钟后，桶 A 和桶 B 中的水相等，要使桶 A 中的水只有 $\frac{a}{16}$ 升，必须再经过 (B)

A.12 分钟
B.15 分钟
C.20 分钟
D.25 分钟

答案： B 设桶$ B $中水的体积为$ y_2 = a - am^t $，由题意知，当$ t = 5 $时，$ y_1 = y_2 $。所以$ am^5 = a - am^5 $，可得$ m^5 = \frac{1}{2} $。令$ y_1 = am^t = \frac{a}{16} $，可得$ m^t = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = (m^5)^4 = m^{20} $，解得$ t = 20 $，$ 20 - 5 = 15 $，所以必须再经过15分钟。故选B。

1. 给出下列函数，其中为指数函数的是 (C)

A.$y = x^4$
B.$y = x^x$
C.$y = 10^x$
D.$y = -4^x$

答案： 1. C

2. (多选) 若指数函数 $f(x)$ 的图象过点 $(3,8)$，则下列结论中正确的是 (AD)

A.$f(-1) = \frac{1}{2}$
B.$f(-1) = 2$
C.$f(x) = (\frac{1}{2})^x$
D.$f(x) = 2^x$

答案： 2. AD

3. 已知指数函数 $f(x) = a^{-x} (a＞0$，且 $a \neq 1)$，$f(1) = \frac{1}{5}$，则 $f(-1) =$5.

答案： 3. 5

4. 某钢厂的年产量由 2010 年的 40 万吨增加到 2020 年的 50 万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂 2030 年的年产量约为63万吨(结果保留整数).

答案： 4. 63