《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

?问题导思
（阅读教材 P174，完成探究问题 3）
问题 3. 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？

答案： 3.初中我们已学习过，圆心角为$n^{\circ}$的扇形的弧长公式和面积公式分别为$l = \frac{n\pi R}{180}$，$S = \frac{n\pi R^{2}}{360}$，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道$\alpha = \frac{n\pi}{180}$.

新知 构建
设扇形的半径为$R$，弧长为$l$，$\alpha(0 ＜ \alpha ＜ 2\pi)$为其圆心角，则
(1)弧长公式：$l =$$R\alpha$.
(2)扇形面积公式：$S =$$\frac{1}{2}lR$ =$\frac{1}{2}R^{2}\alpha$.
［微提醒］ 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意$\alpha$的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.

答案：
(1)$\alpha R$
(2)$\frac{1}{2}lR$ $\frac{1}{2}\alpha R^{2}$

典例 4 （链教材 P174 例 6）已知扇形的周长为$10 cm$，面积为$4 cm^2$，求扇形圆心角的弧度数.
听课笔记：

答案： 4. 解：设扇形圆心角的弧度数为$\theta(0 ＜ \theta ＜ 2\pi)$，弧长为$l\ \mathrm{cm}$，半径为$R\ \mathrm{cm}$，依题意有$\begin{cases}l + 2R = 10,①\frac{1}{2}lR = 4.②\end{cases}$
①代入②得$R^{2} - 5R + 4 = 0$，解得$R = 1$或$R = 4$.
当$R = 1$时，$l = 8$，此时，$\theta = 8\ \mathrm{rad} ＞ 2\pi\ \mathrm{rad}$舍去.
当$R = 4$时，$l = 2$，此时，$\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\ \mathrm{rad}$.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}\ \mathrm{rad}$.

对点练 4. 已知扇形的圆心角为$\alpha$，所在圆的半径为$r$.
(1)若$\alpha = 150^{\circ}$，$r = 10$，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为 24，当$\alpha$为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积.

答案： 4.解：设扇形的弧长为$l$.
(1)因为$\alpha = 150^{\circ}$，所以$\alpha = \frac{5\pi}{6}$，
又$r = 10$，所以$l = \alpha r = \frac{5\pi}{6}×10 = \frac{25\pi}{3}$.
(2)由题设条件知$l + 2r = 24$，则$l = 24 - 2r(0 ＜ r ＜ 12)$，
所以扇形的面积$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}(24 - 2r)r = -r^{2} + 12r = -(r - 6)^{2} + 36$.
当$r = 6$时，$S$有最大值$36$，此时$l = 24 - 2r = 12$，$\alpha = \frac{l}{r} = 2$，
所以当$\alpha = 2$时，扇形的面积最大，为$36$.

1. 下列命题正确的是 (C)

A.“度”与“弧度”是度量角的相同单位
B.$1^{\circ}$的角是周角的$\frac{1}{2\pi}$，1 rad 的角是周角的$\frac{1}{360}$
C.1 rad 的角比$1^{\circ}$的角要大
D.用弧度制度量角时，角的大小与所在圆的半径有关

答案： 1.C

2.$\frac{2026\pi}{3}$是 (C)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 2.C

3.(多选)下列弧度与角度的互化正确的是 (AC)

A.$-240^{\circ} = -\frac{4\pi}{3}$
B.$\frac{5\pi}{3} = 330^{\circ}$
C.$225^{\circ} = \frac{5\pi}{4}$
D.$-\frac{7\pi}{4} = -310^{\circ}$

答案： 3.AC

4. 已知扇形的圆心角为$\frac{\pi}{4}$，弧长为$\pi$，则扇形的面积为$2\pi$.

答案： 4.$2\pi$