《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P180，完成探究问题 2）
问题 2. 根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号.

答案： 问题导思　2.三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号推导出的。根据三角函数的定义可知（$\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha = \frac{y}{x}$），正弦的符号取决于纵坐标$y$的符号，余弦的符号取决于横坐标$x$的符号，正切的符号是由纵坐标$y$和横坐标$x$共同决定的，同号为正，异号为负。

新知 构建
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1) 图示：

(2) 正弦：一、二象限正，三、四象限负；
(3) 余弦：一、四象限正，二、三象限负；
(4) 正切：一、三象限正，二、四象限负.
(5) 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

答案：
(2)一、二　三、四　
(3)一、四　二、三　
(4)一、三　二、四

典例2 (1) 当$x$为第四象限角时，$\frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{|\cos x|}{\cos x} + \frac{|\tan x|}{\tan x} =$ (B)

A.1
B.-1
C.3
D.-3

答案：
(1)B　
(1)由$x$为第四象限角，得$\sin x ＜ 0$，$\cos x ＞ 0$，$\tan x ＜ 0$，所以$\frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{|\cos x|}{\cos x} + \frac{\tan x}{|\tan x|} = \frac{\sin x}{-\sin x} + \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\tan x}{-\tan x} = -1$。故选B。

(2)(多选)下列选项中的三角函数值的符号为负的是 (ABD)

A.$\sin(-100^{\circ})$
B.$\cos(-220^{\circ})$
C.$\tan 4$
D.$\cos\pi$

答案：
(2)ABD
(2)$-100°$角的终边在第三象限，故$\sin(-100°) ＜ 0$；$-220°$角的终边在第二象限，故$\cos(-220°) ＜ 0$；$4\in\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$，其终边在第三象限，故$\tan 4 ＞ 0$；$\cos\pi = -1 ＜ 0$。故选ABD。

对点练 2. (1) “$\cos\theta ＜ 0$且$\tan\theta ＞ 0$” 是 “$\theta$为第三象限角” 的 (A)

A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(1)A　
(1)充分性：由$\cos\theta ＜ 0$可知角$\theta$的终边可能位于第二或第三象限也可能与$x$轴负半轴重合，由$\tan\theta ＞ 0$可知角$\theta$的终边可能位于第一或第三象限，综上可得角$\theta$的终边位于第三象限，于是$\theta$为第三象限角。必要性：若$\theta$为第三象限角，则$\cos\theta ＜ 0$，$\tan\theta ＞ 0$，所以“$\cos\theta ＜ 0$且$\tan\theta ＞ 0$”是“$\theta$为第三象限角”的充要条件。故选A。

(2) 设$\alpha$是三角形的一个内角，则下列有可能取负值的是②③.(填序号)
①$\sin\alpha$; ②$\cos\alpha$; ③$\tan\alpha$; ④$\tan\frac{\alpha}{2}$.

答案：
(2)②③
(2)因为$\alpha\in(0, \pi)$，$\frac{\alpha}{2}\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，所以$\sin\alpha$，$\tan\frac{\alpha}{2}$恒为正值，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$可能为负值。

? 问题导思
（阅读教材 P180-181，完成探究问题 3）
问题 3. $30^{\circ},390^{\circ},-330^{\circ}$这三个角的终边有什么关系？它们与单位圆的交点坐标相同吗？这三个角的正弦值、余弦值、正切值分别相等吗？

答案： 问题导思　3.这三个角的终边相同，它们与单位圆的交点坐标相同，这三个角的正弦值、余弦值、正切值分别相等。

新知 构建
诱导公式一


即终边相同的角的同一三角函数的值相等.

答案： $\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $\tan\alpha$

典例3（链教材 P181 例 5）求下列三角函数的值：
(1)$\sin\frac{25\pi}{3} + \tan(-\frac{15\pi}{4})$;
(2)$\sin810^{\circ} + \cos360^{\circ} - \tan1125^{\circ}$.
听课笔记：

答案：
(1)$\sin\frac{25\pi}{3} + \tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right) = \sin\left(8\pi + \frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-4\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + \tan\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$。
(2)$\sin 810° + \cos 360° - \tan 1125°$
$= \sin(2× 360° + 90°) + \cos(360° + 0°) - \tan(3× 360° + 45°) = \sin 90° + \cos 0° - \tan 45°$
$= 1 + 1 - 1 = 1$。