《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1　(1)已知集合$A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq3,x\in \mathbf{Z},y\in \mathbf{Z}\}$，则$A$中元素的个数为 (A)

A.9　　
B.8　　
C.5　　
D.4

答案：
(1)A
(1)由$x^{2}+y^{2}\leq3$知，$-\sqrt{3}\leq x\leq\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}\leq y\leq\sqrt{3}$。又$x\in\mathbf{Z}$，$y\in\mathbf{Z}$，所以$x\in\{ -1,0,1\}$，$y\in\{ -1,0,1\}$。所以$A=\{ (-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)\}$，所以$A$中元素的个数为$9$。故选A。

(2)已知集合$A=\{0,1,2\}$，则集合$B=\{x-y\mid x\in A,y\in A\}$中元素的个数是 (C)

A.1　　
B.3　　
C.5　　
D.9
听课笔记：

答案：
(2)C
(2)①当$x = 0$时，$y = 0,1,2$，此时$x - y$的值分别为$0,-1,-2$；②当$x = 1$时，$y = 0,1,2$，此时$x - y$的值分别为$1,0,-1$；③当$x = 2$时，$y = 0,1,2$，此时$x - y$的值分别为$2,1,0$。综上可知，$x - y$的可能取值为$-2,-1,0,1,2$，共$5$个。故选C。

对点练 1. (1)设集合$A=\{1,2,4\}$，集合$B=\{x\mid x=a+b,a\in A,b\in A\}$，则集合$B$中元素的个数是 (C)

A.4　　
B.5　　
C.6　　
D.7

答案：
(1)C
(1)因为$a\in A$，$b\in A$，$x = a + b$，所以$x = 2,3,4,5,6,8$，所以$B$中有$6$个元素，故选C。

(2)已知集合$M=\{1,m+2,m^2+4\}$，且$5\in M$，则$m$的值为3或1.

答案：
(2)3或1
(2)当$m + 2 = 5$时，$m = 3$，$M = \{ 1,5,13\}$，符合题意；当$m^{2}+4 = 5$时，$m = 1$或$m = -1$。若$m = 1$，$M = \{ 1,3,5\}$，符合题意；若$m = -1$，则$m + 2 = 1$，不满足元素的互异性，故$m = 3$或$1$。

典例 2　(1)设全集$U=\{x\mid |x|＜4$，且$x\in \mathbf{Z}\}$，$S=\{-2,1,3\}$，若$P\subseteq U$，$(\complement_U P)\subseteq S$，则这样的集合$P$共有 (D)

A.5个　　
B.6个　　
C.7个　　
D.8个

答案：
(1)D
(1)易知$U = \{ -3,-2,-1,0,1,2,3\}$，因为$\complement_{U}(\complement_{U}P)=P$，所以存在一个$\complement_{U}P$，则有一个相应的$P$。由于$S = \{ -2,1,3\}$，且$\complement_{U}P\subseteq S$，则集合$S$的子集$\complement_{U}P$共有$8$个，所以集合$P$也有$8$个。故选D。

(2)已知集合$A=\{x\mid -2\leq x\leq7\}$，$B=\{x\mid m+1＜x＜2m-1\}$，若$B\subseteq A$，则实数$m$的取值范围是{ m\mid m≤4}.
听课笔记：

答案：
(2)$\{ m\mid m\leq4\}$
(2)当$B=\varnothing$时，有$m + 1\geq2m - 1$，则$m\leq2$。当$B\neq\varnothing$时，若$B\subseteq A$，如图。
$ \begin{cases}m + 1\geq - 2\\2m - 1\leq7\\m + 1\lt2m - 1\end{cases}$
解得$2\lt m\leq4$。综上，实数$m$的取值范围为$\{ m\mid m\leq4\}$。