《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

（阅读教材 P130 - 131，完成探究问题）
问题. 将$y = 2^{x}$化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间$(0, +\infty)$内的每一个$y$的值，是否都有唯一的实数$x$与之对应？$x$能否看作关于$y$的函数？

答案： $ x = \log_{2}y $；任意 $ y \in (0, +\infty) $，都有唯一的实数 $ x $ 与之对应；$ x $ 能看作关于 $ y $ 的函数.

新知 构建
对数函数的概念
一般地，函数$ y = \log_{a}x (a ＞ 0, 且 a \neq 1) $叫做对数函数，其中$x$是自变量，定义域是$ (0, +\infty) $.
[微提醒] (1)对数函数的系数为 1.(2)真数只能是一个$x$.(3)底数与指数函数的底数范围相同.

答案： $ y = \log_{a}x (a ＞ 0, 且 a \neq 1) $ $ (0, +\infty) $

典例 1(多选)下列函数中为对数函数的是 (CD)

A.$y = \log_{\frac{1}{2}}(-x)$
B.$y = 2\log_{4}(x - 1)$
C.$y = \ln x$
D.$y = \log_{(a^{2}+a + 2)}x$($a$是常数)

答案： CD 对于A，真数是$-x$，故A不是对数函数；对于B，对数系数不为1，真数是$ x - 1 $，不是$ x $，故B不是对数函数；对于C，$\ln x$的系数为1，真数是$ x $，故C是对数函数；对于D，底数$ a^{2} + a + 2 = \left(a + \frac{1}{2}\right)^{2} +\frac{7}{4} ＞ 1 $，真数是$ x $，故D是对数函数.故选CD.

对点练 1. 若对数函数$f(x)$的图象过点$(4, -2)$，则$f(8) =$$-3$.

答案： $-3$ 由题意设$ f(x) = \log_{a}x $，则$ f(4) = \log_{a}4 = -2 $，所以$ a^{-2}= 4 $，故$ a = \frac{1}{2} $，即$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $，所以$ f(8) = \log_{\frac{1}{2}}8 = \log_{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2} \right)^{-3} =-3 $.

典例 2（链教材 P130 例 1）求下列函数的定义域：
(1)$y = \ln(x - 1)^{2}$；
(2)$y = \frac{1}{\log_{2}x}$；
(3)$y = \lg x+\sqrt{2 - x}$；
(4)$y = \log_{2}x+\log_{2}(3 - x)$.
听课笔记：

答案： 解：
(1)因为$ (x - 1)^{2} ＞ 0 $，解得$ x \neq 1 $，所以函数的定义域为$ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $.
(2)因为$ \begin{cases} \log_{3}x \neq 0, \\ x ＞ 0, \end{cases} $解得$ x ＞ 0 $且$ x \neq 1 $.所以函数的定义域为$ (0, 1) \cup (1, +\infty) $.
(3)因为$ \begin{cases} x ＞ 0, \\ 2 - x \geq 0, \end{cases} $解得$ 0 ＜ x \leq 2 $，所以函数的定义域为$ (0, 2] $.
(4)因为$ \begin{cases} x ＞ 0, \\ 3 - x ＞ 0, \end{cases} $解得$ 0 ＜ x ＜ 3 $，所以函数的定义域为$ (0, 3) $.