《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

4.1 指数

答案： 答案略

（阅读教材 P104－105，完成探究问题 1、2）
问题 1. 由$3^2 = 9$和$( - 3)^2 = 9$我们可得到 9 的平方根是什么？由$5^3 = 125$以及$( - 3)^3 = - 27$我们可以得到 125 和$- 27$的立方根分别是什么？
问题 2. 类比平方根、立方根的概念，试着说说 4 次方根、5 次方根、10 次方根等，你认为$n$次方根应该是什么？

答案： 1.9的平方根是3和-3，125的立方根是5，-27的立方根是-3.
2. 比如$(\pm2)^4 = 16$，我们把$\pm2$叫做16的4次方根；$(\pm3)^4 = 81$，我们把$\pm3$叫做81的4次方根；$(-2)^5 = -32$，我们把$-2$叫做$-32$的5次方根；$(\pm2)^{10} = 1024$，我们把$\pm2$叫做1024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果$2^n = a$，那么我们把2叫做$a$的$n$次方根.

新知 构建
1. $n$次方根的定义
一般地，如果$x^n = a$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根，其中$n ＞ 1$，且$n \in \mathbf{N}^*$.
2. $n$次方根的性质

3. 根式
式子$\sqrt[n]{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数.
4. 根式的性质
(1)负数没有偶次方根.
(2)0 的任何次方根都是 0，记作$\sqrt[n]{0} =$0.
(3)$(\sqrt[n]{a})^n =$$a$$(n \in \mathbf{N}^*$，且$n ＞ 1)$.
(4)当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^n} = a$；当$n$为偶数时，\sqrt[n]{a^n} = |a| = \begin{cases} _________ , a \geq 0, \\ -a, a ＜ 0.\end{cases}

答案： 1.$n$次方根 3.根式 根指数 被开方数 4.
(1)负数
(2)0
(3)$a$
(4)$\sqrt[n]{a}$

[微思考] 1. 二次根式$\sqrt{x^2} = - x$成立的条件是什么？
2. 等式$\sqrt{a^2} = a$和$(\sqrt{a})^2 = a$恒成立吗？

答案： [微思考] 1.根据根式的性质可知$x \leq 0$.
2.当$a \geq 0$时，两式恒成立.当$a ＜ 0$时，$\sqrt{a^2} = -a$，$(\sqrt{a})^2$无意义.