《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例3(1)(链教材P5练习T2)下列说法正确的有
(D)
①$1 \in \mathbf{N}$; ②$\sqrt{2} \notin \mathbf{N}^*$; ③$\frac{3}{2} \in \mathbf{Q}$; ④$3 + \sqrt{6} \in \mathbf{R}$;
⑤$\pi \in \mathbf{Q}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 典例3
(1)$ D $
(2)$ -1 $
(1)1是自然数,故$ 1\in \mathbf{N} $,故①正确;$ \sqrt{2} $不是正整数,故$ \sqrt{2}\notin \mathbf{N}^{*} $,故②正确;$ \frac{3}{2} $是有理数,故$ \frac{3}{2}\in \mathbf{Q} $,故③正确;$ 3 + \sqrt{6} $是实数,故$ 3 + \sqrt{6}\in \mathbf{R} $,故④正确;$ \pi $是无理数,故$ \pi \notin \mathbf{Q} $,故⑤错误.所以正确的说法有①②③④共4个.故选$ D $.

(2)已知集合$A$含有两个元素$a$和$a^2$，若$1 \in A$，则实数$a$的值为$-1$.

答案：
(2)若$ 1\in A $,则$ a = 1 $或$ a^{2} = 1 $,即$ a = \pm 1 $.
当$ a = 1 $时,集合$ A $有重复元素1,所以$ a\neq 1 $;
当$ a = -1 $时,集合$ A $含有两个元素$ 1, -1 $,符合集合中元素的互异性,所以$ a = -1 $.

［变式探究］(变条件)若去掉本例(2)中的条件“$1 \in A$”，则实数$a$的取值范围是什么？

答案： 解:因为集合$ A $中含有两个元素$ a $和$ a^{2} $,
所以$ a\neq a^{2} $,即$ a\neq 0 $且$ a\neq 1 $.

对点练3.用符号“$\in$”或“$\notin$”填空：
(1)设集合$B$是小于$\sqrt{11}$的所有实数组成的集合，则$2\sqrt{3}$$\notin$$B$，$1 + \sqrt{2}$$\in$$B$；
(2)设集合$D$是由满足方程$y = x^2$的有序实数对$(x,y)$组成的集合，则$-1$$\notin$$D$，$(-1,1)$$\in$$D$.

答案： 对点练3.
(1)$ \notin $
(2)$ \in $
(1)因为$ 2\sqrt{3} = \sqrt{12} ＞ \sqrt{11} $,所以$ 2\sqrt{3}\notin B $.因为$ 1 + \sqrt{2} ＜ 3 ＜ \sqrt{11} $,所以$ 1 + \sqrt{2}\in B $.
(2)因为集合$ D $中的元素是有序实数对$ (x, y) $,而$ -1 $不是有序实数对,所以$ -1\notin D $.因为$ (-1)^{2} = 1 $,所以$ (-1, 1) $是满足方程$ y = x^{2} $的有序实数对,所以$ (-1, 1)\in D $.

对点练4.已知集合$A$中元素$x$满足$2x + a ＞ 0$，$a \in \mathbf{R}$，若$2 \in A$，则实数$a$的取值范围是$a ＞ -4$.

答案： 对点练4.$ a ＞ -4 $ 因为$ 2\in A $,所以$ 2× 2 + a ＞ 0 $,即$ a ＞ -4 $.

1.(多选)下列对象中能构成一个集合的是(BCD)

A.某校比较出名的教师
B.方程$x - 2 = 0$的根
C.所有的自然数
D.所有锐角三角形

答案： 1.$ BCD $

2.(多选)下列结论正确的是 (AD)

A.$\frac{1}{3} \notin \mathbf{Q}$
B.$\sqrt{3} \notin \mathbf{Q}$
C.$0 \in \mathbf{N}^*$
D.$-5 \in \mathbf{Z}$

答案： 2.$ AD $

3. 方程$x^2 + 2x - 8 = 0$和方程$x^2 + x - 12 = 0$的所有实数解组成的集合为$M$，则$M$中的元素个数为 (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3.$ C $

4. 已知集合$P$有三个元素$-1,2a + 1,a^2 - 1$. 若$0 \in P$，则实数$a$的值为$-\frac{1}{2}$或$1$.

答案： 4.$ -\frac{1}{2} $或$ 1 $