《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

已知$\sin \alpha \cos \alpha =\dfrac {3}{8}$，且$\dfrac {\pi }{4} ＜ \alpha ＜ \dfrac {\pi }{2}$，则$\cos \alpha -\sin \alpha$的值是(B)

A.$\dfrac {1}{2}$
B.$-\dfrac {1}{2}$
C.$\dfrac {1}{4}$
D.$-\dfrac {1}{4}$

答案： 因为$\frac{\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$\sin\alpha ＞ \cos\alpha$，$\cos\alpha - \sin\alpha ＜ 0$。所以$\cos\alpha - \sin\alpha = -\sqrt{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha} = -\sqrt{1 - 2×\frac{3}{8}} = -\frac{1}{2}$。故选B。

典例 3
已知$\dfrac {\cos ^{4}A}{\cos ^{2}B}+\dfrac {\sin ^{4}A}{\sin ^{2}B}=1$，求证：$\dfrac {\cos ^{4}B}{\cos ^{2}A}+\dfrac {\sin ^{4}B}{\sin ^{2}A}=1$。
听课笔记：

答案： 证明：设$\sin^{2}A = m(0 ＜ m ＜ 1)$，$\sin^{2}B = n(0 ＜ n ＜ 1)$，则$\cos^{2}A = 1 - m$，$\cos^{2}B = 1 - n$。
由$\frac{\cos^{4}A}{1 - n} + \frac{\sin^{4}A}{n} = 1$，得$\frac{(1 - m)^{2}}{1 - n} + \frac{m^{2}}{n} = 1$，即$(m - n)^{2} = 0$，所以$m = n$，
所以$\frac{\cos^{4}B}{1 - m} + \frac{\sin^{4}B}{m} = \frac{(1 - n)^{2}}{1 - m} + \frac{n^{2}}{m} = 1 - n + n = 1$。

已知$\tan ^{2}\alpha =2\tan ^{2}\beta +1$，求证：$\sin ^{2}\beta =2\sin ^{2}\alpha -1$。

答案： 证明：因为$\tan^{2}\alpha = 2\tan^{2}\beta + 1$，所以$\tan^{2}\alpha + 1 = 2\tan^{2}\beta + 2$。
所以$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} + 1 = 2\left(\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\beta} + 1\right)$，整理得$\frac{1}{\cos^{2}\alpha} = \frac{2}{\cos^{2}\beta}$，即$\cos^{2}\beta = 2\cos^{2}\alpha$，
所以$1 - \sin^{2}\beta = 2(1 - \sin^{2}\alpha)$，即$\sin^{2}\beta = 2\sin^{2}\alpha - 1$。

1. 若$\tan \alpha =2$，则$\dfrac {2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +2\cos \alpha }$的值为(B)

A.$0$
B.$\dfrac {3}{4}$
C.$1$
D.$\dfrac {5}{4}$

答案： B

2. 已知$\sin \alpha -\cos \alpha =\dfrac {1}{2}$，则$\dfrac {\sin \alpha }{1-\tan \alpha }=$(A)

A.$-\dfrac {3}{4}$
B.$\dfrac {3}{4}$
C.$-\dfrac {3}{16}$
D.$\dfrac {3}{16}$

答案： A

3. (多选)已知$\theta \in (0,\pi )$，$\sin \theta +\cos \theta =\dfrac {1}{5}$，则下列结论正确的是(AD)

A.$\theta \in \left(\dfrac {\pi }{2},\pi \right)$
B.$\cos \theta =\dfrac {3}{5}$
C.$\tan \theta =-\dfrac {3}{4}$
D.$\sin \theta \cos \theta =-\dfrac {12}{25}$

答案： AD

4. 若$2\sin \alpha +\cos \alpha =0$，则$\sin ^{2}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =$1。

答案： 1