《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

(2)下列命题的否定是假命题的是 (C)

A.$p$：能被 3 整除的整数是奇数
B.$p$：每一个四边形的四个顶点都共圆
C.$p$：有的三角形为正三角形
D.$p$：$\exists x\in \mathbf{R}$，$x^2 +4x+5\leq0$
听课笔记：

答案：
(2)C
(2)A中，$\neg p$：存在一个能被$3$整除的整数不是奇数，实数$12$不是奇数，但能被$3$整除，所以$\neg p$是真命题；B中，命题$p$为假命题，所以$\neg p$是真命题；C中，命题$p$为真命题，所以$\neg p$是假命题；D中，$\neg p$：$\forall x\in\mathbf{R}$，都有$x^{2}+4x + 5\gt0$，因为$x^{2}+4x + 5 = (x + 2)^{2}+1\gt0$，所以$\neg p$是真命题。故选C。

对点练 5. (1)已知$p:x＞1$或$x＜-3$，$q:x＞a(a\in \mathbf{R})$. 若$\neg q$的一个充分不必要条件是$\neg p$，则实数$a$的取值范围是{ a∣ a≥1}.
(2)设全集$U=\mathbf{R}$，集合$A=\{x\mid 1\leq x\leq5\}$，非空集合$B=\{x\mid -1-2a\leq x\leq a-2\}$.
①若$A\cap B=A$，求实数$a$的取值范围；
②若命题“$\forall x\in B$，$x\in A$”是真命题，求实数$a$的取值范围.

答案：
(1)$\{ a\mid a\geq1\}$
(2)①$\{ a\mid a\geq7\}$；②$\varnothing$
(1)由已知得$\neg p$：$-3\leq x\leq1$，$\neg q$：$x\leq a$。设$A = \{ x\mid - 3\leq x\leq1\}$，$B = \{ x\mid x\leq a\}$，若$\neg p$是$\neg q$的充分不必要条件，则$\neg p\Rightarrow\neg q$，$\neg q\nRightarrow\neg p$，所以$A\subsetneqq B$，所以$a\geq1$。所以实数$a$的取值范围是$\{ a\mid a\geq1\}$。
(2)①因为$A\cap B = A$，所以$A\subseteq B$，所以$\begin{cases}a - 2\geq - 1 - 2a\\a - 2\geq5\\-1 - 2a\leq1\end{cases}$，解得$a\geq7$，所以实数$a$的取值范围是$\{ a\mid a\geq7\}$。
②命题“$\forall x\in B$，$x\in A$”是真命题，所以$B\subseteq A$。又$B\neq\varnothing$，所以$\begin{cases}a - 2\geq1\\a - 2\leq5\\-1 - 2a\leq a - 2\end{cases}$，无解。故实数$a$的取值范围是$\varnothing$。

真题 1　(2024·全国甲卷理)已知集合$A=\{1,2,3,4,5,9\}$，$B=\{x\mid \sqrt{x}\in A\}$，则$\complement_A (A\cap B)=$ (D)

A.$\{1,4,9\}$　　
B.$\{3,4,9\}$
C.$\{1,2,3\}$　　
D.$\{2,3,5\}$

答案： D
$B = \{ 1,4,9,16,25,81\}$，$A\cap B = \{ 1,4,9\}$，则$\complement_{A}(A\cap B) = \{ 2,3,5\}$。故选D。

真题 2　(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合$M=\{-2,-1,0,1,2\}$，$N=\{x\mid x^2 -x-6\geq0\}$，则$M\cap N=$ (C)

A.$\{-2,-1,0,1\}$　　
B.$\{0,1,2\}$
C.$\{-2\}$　　
D.$\{2\}$

答案： C
法一：因为$N = \{ x\mid x^{2}-x - 6\geq0\} = \{ x\mid x\leq - 2,或x\geq3\}$，而$M = \{ - 2,-1,0,1,2\}$，所以$M\cap N = \{ - 2\}$。故选C。
法二：因为$M = \{ - 2,-1,0,1,2\}$，将$-2,-1,0,1,2$代入不等式$x^{2}-x - 6\geq0$，只有$-2$使不等式成立，所以$M\cap N = \{ - 2\}$。故选C。

真题 3　(2023·全国甲卷理)设集合$A=\{x\mid x=3k+1,k\in \mathbf{Z}\}$，$B=\{x\mid x=3k+2,k\in \mathbf{Z}\}$，$U$为整数集，则$\complement_U (A\cup B)=$ (A)

A.$\{x\mid x=3k,k\in \mathbf{Z}\}$
B.$\{x\mid x=3k-1,k\in \mathbf{Z}\}$
C.$\{x\mid x=3k-2,k\in \mathbf{Z}\}$
D.$\varnothing$

答案： A
因为整数集$U = \{ x\mid x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{ x\mid x = 3k + 1,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{ x\mid x = 3k + 2,k\in\mathbf{Z}\}$，所以$\complement_{U}(A\cup B) = \{ x\mid x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}$。故选A。

真题 4　(2023·新课标Ⅱ卷)设集合$A=\{0,-a\}$，$B=\{1,a-2,2a-2\}$，若$A\subseteq B$，则$a=$ (B)

A.2　　
B.1　　
C.$\frac{2}{3}$　　
D.-1

答案： B
因为$A\subseteq B$，则有：若$a - 2 = 0$，解得$a = 2$，此时$A = \{ 0,-2\}$，$B = \{ 1,0,2\}$，不符合题意；若$2a - 2 = 0$，解得$a = 1$，此时$A = \{ 0,-1\}$，$B = \{ 1,-1,0\}$，符合题意；综上所述，$a = 1$。故选B。