《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P124—125，完成探究问题 1）
问题 1. 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？
(1)$\log_2(4 × 8)$, $\log_2 4 + \log_2 8$；
(2)$\log_2 \frac{32}{4}$, $\log_2 32 - \log_2 4$；
(3)$\log_2 2^5$, $5\log_2 2$.

答案： 问题导思 1.
(1)$\log_{2}(4× 8)=\log_{2}32 = 5$；$\log_{2}4+\log_{2}8 = 2 + 3 = 5$，猜想$\log_{a}(M× N)=\log_{a}M+\log_{a}N$。
(2)$\log_{2}\frac{32}{4}=\log_{2}8 = 3$；$\log_{2}32-\log_{2}4 = 5 - 2 = 3$，猜想$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$。
(3)$\log_{2}2^{5}=5$；$5\log_{2}2 = 5×1 = 5$，猜想$\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$。

新知 构建
对数的运算性质
如果 $a ＞ 0$，且 $a \neq 1$, $M ＞ 0$, $N ＞ 0$, 那么
(1)$\log_a(MN) =$$\log_{a}M+\log_{a}N$$\underline{\hspace{5em}}$；
(2)$\log_a \frac{M}{N} =$$\log_{a}M-\log_{a}N$$\underline{\hspace{5em}}$；
(3)$\log_a M^n = n \log_a M (n \in \mathbf{R})$.
[微提醒] (1) 性质的逆运算仍然成立. (2) 公式成立的条件是 $M ＞ 0$, $N ＞ 0$，而不是 $MN ＞ 0$，比如式子 $\log_2[(-2) · (-3)]$ 有意义，而 $\log_2(-2)$ 与 $\log_2(-3)$ 都没有意义. (3) 性质 (1) 可以推广为：$\log_a(N_1 · N_2 · ·s · N_k) = \log_a N_1 + \log_a N_2 + ·s + \log_a N_k$，其中 $N_k ＞ 0$, $k \in \mathbf{N}^*$.

答案： 新知构建
(1)$\log_{a}M+\log_{a}N$
(2)$\log_{a}M-\log_{a}N$

典例 1（链教材 P124 例 3）求下列各式的值：
(1)$\ln e^2$；
(2)$\log_3 e + \log_3 \frac{3}{e}$；
(3)$\lg 50 - \lg 5$；
(4)$\log_5 35 + 2\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \frac{1}{5} - \log_5 14$.
听课笔记：

答案： 典例1 解：
(1)$\ln e^{2}=2\ln e = 2$。
(2)$\log_{3}e+\log_{3}\frac{3}{e}=\log_{3}\left(e·\frac{3}{e}\right)=\log_{3}3 = 1$。
(3)$\lg 50-\lg 5=\lg\frac{50}{5}=\lg 10 = 1$。
(4)$\log_{5}35 + 2\log_{5}\sqrt{2}-\log_{5}\frac{1}{5}-\log_{5}14$
$=\log_{5}35+\log_{5}\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{2}-\log_{5}\frac{1}{5}-\log_{5}14$
$=\log_{5}35+\log_{5}2-\log_{5}\frac{1}{5}-\log_{5}14$
$=\log_{5}\left(35× 2÷\frac{1}{5}÷ 14\right)=2$。

(1)$2\log_3 2 - \log_3 \frac{32}{9} + \log_3 8$；
(2)$\lg 25 + \lg 2 \lg 50 + (\lg 2)^2$；
(3)$\frac{\log_6 2 + \log_6 3 - \log_6 8}{\log_6 3 - \log_6 4}$.

答案： 对点练1. 解：
(1)$2\log_{3}2-\log_{3}\frac{32}{9}+\log_{3}8=\log_{3}\left(4÷\frac{32}{9}× 8\right)=\log_{3}9 = 2$。
(2)$\lg 25+\lg 2\lg 50+(\lg 2)^{2}=2\lg 5+\lg 2×(\lg 10+\lg 5)+(\lg 2)^{2}=2\lg 5+\lg 2+\lg 2×\lg 5+(\lg 2)^{2}=\lg 5+(\lg 5+\lg 2)+\lg 2×(\lg 5+\lg 2)=(\lg 5+\lg 2)+1 = 1 + 1 = 2$。
(3)$\frac{\log_{6}2+\log_{6}3-\log_{6}8}{\log_{6}3-\log_{6}4}=\frac{\log_{6}6-\log_{6}2^{3}}{\log_{6}\frac{6}{2}-\log_{6}2^{2}}=\frac{1 - 3\log_{6}2}{1-\log_{6}2 - 2\log_{6}2}=1$。