《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价 20 元，茶杯每只定价 5 元，该商店现推出两种优惠活动：
(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；
(2)按购买总价的 92％付款.
某顾客需购买茶壶 4 只，茶杯若干只(不少于 4 只)，若购买$x$只茶杯时总付款为$y$元，试分别建立两种优惠活动中$y$与$x$之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯 40 只，应选择哪种优惠活动?
听课笔记：

答案： 解:设优惠活动
(1),
(2)对应的总付款分别为$ y_1 $元,$ y_2 $元.
由优惠活动
(1)得函数关系式为$ y_1 = 20 × 4 + 5(x - 4) = 5x + 60(x \geq 4, x \in \boldsymbol{\mathrm{N}}^*) $.
由优惠活动
(2)得函数关系式为
$ y_2 = (20 × 4 + 5x) × 92\% = 4.6x + 73.6(x \geq 4, x \in \boldsymbol{\mathrm{N}}^*) $.
当该顾客购买茶杯40只时,采用优惠活动
(1)应付款$ y_1 = 5 × 40 + 60 = 260 $(元);
采用优惠活动
(2)应付款$ y_2 = 4.6 × 40 + 73.6 = 257.6 $(元).
由于$ y_2 ＜ y_1 $,故应选择优惠活动
(2).

对点练 1. 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用$y$(元)是行李质量$x(kg)$的一次函数，其图象如图所示.
(1)根据图象数据，求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少?

答案： 解:
(1)设$ y $与$ x $之间的函数关系式为$ y = kx + b(k \neq 0) $.
由题中图象可知,当$ x = 60 $时,$ y = 6 $;当$ x = 80 $时,$ y = 10 $.
所以$ \begin{cases} 60k + b = 6, \\ 80k + b = 10, \end{cases} $解得$ k = \dfrac{1}{5} $,$ b = -6 $.
则$ y = \dfrac{1}{5}x - 6 $,当$ y = 0 $时,$ x = 30 $,
所以$ y $与$ x $之间的函数关系式为$ y = \begin{cases} \dfrac{1}{5}x - 6, x ＞ 30, \\ 0, 0 \leq x \leq 30. \end{cases} $
(2)根据题意,当$ y = 0 $时,$ 0 \leq x \leq 30 $.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.

典例 2 十一长假期间，某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用(人工费、消耗费用等等).受市场调控，每个房间每天的房价不得高于 340 元.设每个房间每天的房价增加$x$元($x\geqslant0$且$x$为 10 的整数倍).
(1)设一天订住的房间数为$y$，直接写出$y$与$x$的函数关系式及自变量$x$的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为$W$元，求$W$与$x$的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大?最大利润是多少元?
听课笔记：

答案： 解:
(1)$ y = 50 - \dfrac{1}{10}x(0 \leq x \leq 160 $,且$ x $是10的整数倍).
(2)$ W = \left(50 - \dfrac{1}{10}x\right)(180 + x - 20) = -\dfrac{1}{10}x^2 + 34x + 8\ 000(0 \leq x \leq 160 $,且$ x $是10的整数倍).
(3)由
(2)得$ W = -\dfrac{1}{10}x^2 + 34x + 8\ 000 = -\dfrac{1}{10}(x - 170)^2 + 10\ 890 $,
当$ x ＜ 170 $时,$ W $随$ x $的增大而增大.又$ 0 \leq x \leq 160 $,
所以当$ x = 160 $时,$ W_{最大} = 10\ 880 $,则$ y = 50 - \dfrac{1}{10}x = 34 $.
故一天订住34个房间时,宾馆每天的利润最大,
最大利润是10 880元.