《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

若集合$A = \{x \mid kx^{2} - 8x + 16 = 0\}$只有一个元素，试求实数$k$的值，并用列举法表示集合$A$.
听课笔记：

答案： 解:若集合$A$只有一个元素,则方程$kx^2 - 8x + 16 = 0$只有1个实根或有两个相等的实根.
当$k = 0$时,原方程变为$-8x + 16 = 0$,$x = 2$.
此时集合$A = \{2\}$.
当$k \neq 0$时,关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 8x + 16 = 0$有两个相等实根,
只需$\Delta = 64 - 64k = 0$,即$k = 1$.
此时方程的解为$x_1 = x_2 = 4$,集合$A = \{4\}$,满足题意.
综上所述,实数$k$的值为0或1.
当$k = 0$时,$A = \{2\}$;当$k = 1$时,$A = \{4\}$.

1. (变条件)若集合$A$中有 2 个元素，求$k$的取值范围.

答案： 1.解:由题意得$\begin{cases}k \neq 0,\\\Delta = (-8)^2 - 4 × k × 16 \gt 0,\end{cases}$
解得$k \lt 1$,且$k \neq 0$.所以$k$的取值范围为$\{k \mid k \lt 1,且k \neq 0\}$.

2. (变条件)若集合$A$中至多有一个元素，求$k$的取值集合.

答案： 2.解:①当集合$A$中含有1个元素时,由例3知,$k = 0$或$k = 1$;②当集合$A$中没有元素时,方程$kx^2 - 8x + 16 = 0$无解,即$\begin{cases}k \neq 0,\\\Delta = (-8)^2 - 4 × k × 16 \lt 0,\end{cases}$解得$k \gt 1$.
综上,实数$k$的取值集合为$\{k \mid k = 0,或k \geq 1\}$.

对点练 3. (双空题)已知集合$A = \{x \mid x^{2} - ax + b = 0\}$，若$A = \{2,3\}$，则$a =$5，$b =$6.

答案： 由$A = \{2,3\}$,知方程$x^2 - ax + b = 0$的两根为2,3,由根与系数的关系得$\begin{cases}2 + 3 = a,\\2 × 3 = b,\end{cases}$因此$a = 5$,$b = 6$.

1. 集合$\{x \in \mathbb{N}^* \mid x - 2 ＜ 3\}$的另一种表示形式是 (B)

A.$\{0,1,2,3,4\}$
B.$\{1,2,3,4\}$
C.$\{0,1,2,3,4,5\}$
D.$\{1,2,3,4,5\}$

答案： 1.B

2. 在数轴上与原点距离不大于 3 的点对应的数组
成的集合是 (B)

A.$\{x \mid x \leq -3,或 x \geq 3\}$
B.$\{x \mid -3 \leq x \leq 3\}$
C.$\{x \mid x \leq -3\}$
D.$\{x \mid x \geq 3\}$

答案： 2.B

3. (多选)下列各组中$M$，$P$表示不同集合的是 (ABD)

A.$M = \{3, -1\}$，$P = \{(3, -1)\}$
B.$M = \{(3,1)\}$，$P = \{(1,3)\}$
C.$M = \{y \mid y = x^{2} + 1,x \in \mathbb{R}\}$，$P = \{x \mid x = t^{2} + 1,t \in \mathbb{R}\}$
D.$M = \{y \mid y = x^{2} - 1,x \in \mathbb{R}\}$，$P = \{(x,y) \mid y = x^{2} - 1,x \in \mathbb{R}\}$

答案： 3.ABD

4. (易错题)已知集合$A = \{x \mid (a - 1)x^{2} + 3x - 2 = 0\}$是单元素集，则实数$a$的取值集合为$\left\{1,-\dfrac{1}{8}\right\}$.

答案： 4.$\left\{1,-\dfrac{1}{8}\right\}$.