《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 1. 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有能被 5 整除的数都是奇数；
(3)$\forall x \in \mathbf{N}^* ,2x ＞ 0$.

答案： 解：
(1)命题的否定：存在一个分数不是有理数.命题的否定是
假命题.
(2)命题的否定：存在一个能被$5$整除的数不是奇数.命题的否定是真
命题.
(3)命题的否定：$\exists x\in\mathbf{N}^{*},2x\leqslant0$.命题的否定是假命题.

?问题导思
（阅读教材 P30—31，完成探究问题 2）
问题 2. 写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3)$\exists x \in \mathbf{R},x^{2} - 2x + 3 = 0$.
以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？

答案： 这三个命题都是存在量词命题，即具有“$\exists x\in M,p(x)$”的
形式，其中命题
(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也
就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题
(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平
行四边形都不是菱形；
命题
(3)的否定是“不存在$x\in\mathbf{R},x^{2}-2x+3=0$”，也就是说，$\forall x\in\mathbf{R}$，
$x^{2}-2x+3\neq0$.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

新知 构建
存在量词命题的否定
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：$\exists x \in M,p(x)$，它的否定：. 也就是说，存在量词命题的否定是命题.
[微提醒] 对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，$x$的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定. 一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假.

答案： $\boldsymbol{\forall x\in M,\neg p(x)}$ 全称量词

典例 2（链教材 P30 例 4）写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：
(1)有些三角形是锐角三角形；
(2)$\exists x,y \in \mathbf{Z}$，使得$\sqrt{2}x + y = 3$；
(3)存在两个不全等的三角形，它们的面积相等.
听课笔记：

答案： 解：
(1)命题的否定：所有的三角形都不是锐角三角形.命题的否
定为假命题.
(2)命题的否定：$\forall x,y\in\mathbf{Z},\sqrt{2}x+y\neq3$.命题的否定是假命题.
(3)命题的否定：任意两个不全等的三角形，它们的面积都不相等.命题
的否定为假命题.

对点练 2. (1)命题“$\exists x \in \mathbf{R},x^{2} - 2x + 2 \leq 0$”的否定是 (C)

A.$\exists x \in \mathbf{R},x^{2} - 2x + 2 \geq 0$
B.$\exists x \in \mathbf{R},x^{2} - 2x + 2 ＞ 0$
C.$\forall x \in \mathbf{R},x^{2} - 2x + 2 ＞ 0$
D.$\forall x \in \mathbf{R},x^{2} - 2x + 2 \leq 0$

答案：
(1)“$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}-2x+2\leqslant0$”的否定是“$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-2x$
$+2＞0$”，故选C.

(2)写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：
①$\exists x ＞ 1$，使$x^{2} - 2x - 3 = 0$；
②方程$x^{2} - 8x + 15 = 0$有一个根是偶数；
③有些实数的绝对值是正数.

答案： ②命题的否定：$\forall x＞1,x^{2}-2x-3\neq0$.当$x=3$时，$x^{2}-2x-3=0$，
故命题的否定为假命题.
②命题的否定：方程$x^{2}-8x+15=0$的每一个根都不是偶数.解方程
$x^{2}-8x+15=0$得$x=3$或$x=5$，因为$3$和$5$都是奇数，所以命题的否
定为真命题.
③命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数.命题的否定为假命题.