《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 3（1）如果 $12 ＜ a ＜ 60$，$15 ＜ b ＜ 36$，求 $a + b$，$2a - b$，$\frac{a}{b}$ 的取值范围；
（2）已知 $-1 ＜ a + b ＜ 5$，$-4 ＜ a - b ＜ 2$，求 $2a - 4b$ 的取值范围.
听课笔记：

答案： 解：
(1)$27 ＜ a + b ＜ 96$，$24 ＜ 2a ＜ 120$，$-36 ＜ -b ＜ -15$，$\frac{1}{36} ＜ \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{15}$，所以$-12 ＜ 2a - b ＜ 105$，$\frac{1}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 4$.
(2)设$2a - 4b = x(a + b) + y(a - b) = (x + y)a + (x - y)b$，$x$，$y\in\mathbf{R}$，则$\begin{cases}x + y = 2,\\x - y = - 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 1,\\y = 3,\end{cases}$所以$2a - 4b = - (a + b) + 3(a - b)$.因为$-1 ＜ a + b ＜ 5$，$-4 ＜ a - b ＜ 2$，所以$-5 ＜ - (a + b) ＜ 1$，$-12 ＜ 3(a - b) ＜ 6$，所以$-17 ＜ - (a + b) + 3(a - b) ＜ 7$，即$-17 ＜ 2a - 4b ＜ 7$.

对点练 3.(1)已知 $-2 ＜ a \leq 3$，$1 \leq b ＜ 2$，则 $2a - 3b$ 的取值范围为$-10 ＜ 2a - 3b\leqslant3$.
(2)已知 $-1 \leq a + b \leq 1$，$1 \leq a - 2b \leq 3$，则 $a + 3b$ 的取值范围为$-\frac{11}{3}\leqslant a + 3b\leqslant1$.

答案：
(1)$-10 ＜ 2a - 3b\leqslant3$
(2)$-\frac{11}{3}\leqslant a + 3b\leqslant1$
(1)由题意得$-4 ＜ 2a\leqslant6$，$-6 ＜ -3b\leqslant - 3$，所以$-10 ＜ 2a - 3b\leqslant3$.
(2)设$a + 3b = x(a + b) + y(a - 2b) = (x + y)a + (x - 2y)b$，$x$，$y\in\mathbf{R}$，则$\begin{cases}x + y = 1,\\x - 2y = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{5}{3},\\y = -\frac{2}{3},\end{cases}$所以$a + 3b = \frac{5}{3}(a + b) - \frac{2}{3}(a - 2b)$，故$-\frac{5}{3}\leqslant\frac{5}{3}(a + b)\leqslant\frac{5}{3}$，$-2\leqslant -\frac{2}{3}(a - 2b)\leqslant -\frac{2}{3}$，则$-\frac{11}{3}\leqslant a + 3b\leqslant1$.

典例 4(1)设 $a, b, m$ 都是正数，且 $a ＜ b$，记 $x = \frac{a + m}{b + m}$，$y = \frac{a}{b}$，则 (A)

A.$x ＞ y$
B.$x = y$
C.$x ＜ y$
D.$x$ 与 $y$ 的大小与 $m$ 的取值有关

答案：
(1) A
(1)由$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$m ＞ 0$，且$a ＜ b$，即$b - a ＞ 0$，可得$x - y = \frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)} ＞ 0$，即$x ＞ y$.故选A.

(2)(多选)生活经验告诉我们，$a$ 克糖水中有 $b$ 克糖($a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且 $a ＞ b$)，若再添加 $c$ 克糖($c ＞ 0$)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：$\frac{b + c}{a + c} ＞ \frac{b}{a}$.
趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是 (BCD)

A.若 $a ＞ b ＞ 0$，$m ＞ 0$，则 $\frac{b + m}{a + m}$ 与 $\frac{b}{a}$ 的大小关系随 $m$ 的变化而变化
B.若 $b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，则 $\frac{b}{a} ＞ \frac{b + m}{a + m}$
C.若 $a ＞ b ＞ 0$，$c ＞ d ＞ 0$，则 $\frac{b + d}{a + d} ＜ \frac{b + c}{a + c}$
D.若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则一定有 $\frac{a}{1 + a + b} + \frac{b}{1 + a + b} ＜ \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$

答案：
(2) BCD
(2)对于A，因为$a ＞ b ＞ 0$，$m ＞ 0$，所以$\frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＞ 0$，所以$\frac{b + m}{a + m} ＞ \frac{b}{a}$，故A错误.对于B，因为$b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，所以$\frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＜ 0$，所以$\frac{b}{a} ＞ \frac{b + m}{a + m}$，故B正确；对于C，因为$a ＞ b ＞ 0$，$c ＞ d ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$，$c - d ＞ 0$，所以$\frac{b + c}{a + c} - \frac{b + d}{a + d} = \frac{(b + c)(a + d) - (b + d)(a + c)}{(a + c)(a + d)} = \frac{(a - b)(c - d)}{(a + c)(a + d)} ＞ 0$，所以$\frac{b + d}{a + d} ＜ \frac{b + c}{a + c}$，故C正确；对于D，因为$0 ＜ 1 + a ＜ 1 + a + b$，$0 ＜ 1 + b ＜ 1 + a + b$，所以$\frac{a}{1 + a} ＞ \frac{a}{1 + a + b}$，$\frac{b}{1 + b} ＞ \frac{b}{1 + a + b}$，所以$\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} ＞ \frac{a}{1 + a + b} + \frac{b}{1 + a + b}$，故D正确.故选BCD.

1. 已知 $a, b \in \mathbb{R}$，则“$a ＞ 1$，$b ＞ 1$”是“$ab ＞ 1$”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1. A

2. 已知 $a ＜ b ＜ |a|$，则下列不等式中恒成立的是 (A)

A.$|b| ＜ -a$
B.$ab ＞ 0$
C.$ab ＜ 0$
D.$|a| ＜ |b|$

答案： 2. A

3. 已知实数 $a, b$ 满足 $0 ＜ a ＜ b ＜ 2$，则 $a - b$ 的取值范围是$-2 ＜ a - b ＜ 0$.

答案： 3. $-2 ＜ a - b ＜ 0$

4. 已知 $0 ＜ a - b ＜ 2$，$2 ＜ a + b ＜ 4$，则 $3a + b$ 的取值范围是$4 ＜ 3a + b ＜ 10$.

答案： 4. $4 ＜ 3a + b ＜ 10$