《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 函数$y = 2^{|x|}$的图象是 (B)

答案： 1. B

2. 函数$f(x) = 3a^{x - 1} - 2(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$的图象过定点 (C)

A.$(1, - 2)$
B.$(0,1)$
C.$(1,1)$
D.$(2,3a - 2)$

答案： 2. C

3. 函数$f(x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$的定义域为$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$.

答案： 3. $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$

4. 当$x \in [ - 2,2)$时，函数$y = 3^{- x} - 1$的值域为$(-\frac{8}{9},8]$.

答案： 4. $(-\frac{8}{9},8]$

典例1
判断$f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^{2}-2x}$的单调性，并求其值域.
听课笔记：

答案： 解:令$ u = x^2 - 2x $，则原函数变为$ y = \left( \frac{1}{3} \right)^u $。
因为$ u = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 $在$ (-\infty, 1] $上单调递减，在$ [1, +\infty) $上单调递增，又因为$ y = \left( \frac{1}{3} \right)^u $在$ (-\infty, +\infty) $上单调递减，
所以$ y = \left( \frac{1}{3} \right)^{x^2 - 2x} $在$ (-\infty, 1] $上单调递增，在$ [1, +\infty) $上单调递减。
因为$ u = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \geq -1 $，
所以$ y = \left( \frac{1}{3} \right)^u $，$ u \in [-1, +\infty) $，
所以$ 0 ＜ \left( \frac{1}{3} \right)^u \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = 3 $，所以原函数的值域为$ (0, 3] $。

求函数$f(x)=2^{x^{2}-x-2}$的单调区间.

答案： 解: 函数$ y = x^2 - x - 2 $在$ \left( -\infty, \frac{1}{2} \right] $上单调递减，在$ \left[ \frac{1}{2}, +\infty \right) $上单调递增，函数$ y = 2^x $在$ \mathbf{R} $上单调递增，
所以函数$ f(x) = 2^{x^2 - x - 2} $的单调递减区间为$ \left( -\infty, \frac{1}{2} \right] $，单调递增区间为$ \left[ \frac{1}{2}, +\infty \right) $。

典例2
比较下列各组数的大小：
(1)$1.5^{2.5}$和$1.5^{3.2}$；
(2)$0.6^{-1.2}$和$0.6^{-1.5}$；
(3)$1.7^{0.2}$和$0.9^{2.1}$；
(4)$a^{1.1}$和$a^{0.3}(a＞0$，且$a\neq1)$.
听课笔记：

答案：
(1)$ 1.5^{2.5} $，$ 1.5^{3.2} $可看作是函数$ y = 1.5^x $的两个函数值，因为底数$ 1.5 ＞ 1 $，所以函数$ y = 1.5^x $在$ \mathbf{R} $上是增函数.
又$ 2.5 ＜ 3.2 $，所以$ 1.5^{2.5} ＜ 1.5^{3.2} $。
(2)$ 0.6^{-1.2} $，$ 0.6^{-1.5} $可看作是函数$ y = 0.6^x $的两个函数值，因为函数$ y = 0.6^x $在$ \mathbf{R} $上是减函数，且$ -1.2 ＞ -1.5 $，所以$ 0.6^{-1.2} ＜ 0.6^{-1.5} $。
(3)因为$ 1.7^{0.2} ＞ 1.7^0 = 1 $，$ 0.9^{2.1} ＜ 0.9^0 = 1 $，所以$ 1.7^{0.2} ＞ 0.9^{2.1} $。
(4)当$ a ＞ 1 $时，$ y = a^x $在$ \mathbf{R} $上是增函数，此时$ a^{1.1} ＞ a^{0.3} $；
当$ 0 ＜ a ＜ 1 $时，$ y = a^x $在$ \mathbf{R} $上是减函数，此时$ a^{1.1} ＜ a^{0.3} $。