《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1 定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数 $ y = f(x) $，其图象关于点 $ (\frac{1}{2},0) $ 对称，且 $ x \in [0,1] $ 时，$ f(x)=-x + \frac{1}{2} $，则 $ f(\frac{3}{2}) $ 等于(B)

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ \frac{3}{2} $
听课笔记：

答案： B　因为y=f(x)的图象关于点($\frac{1}{2}$,0)对称,所以f($\frac{1}{2}$+x)
　+f($\frac{1}{2}$−x)=0,即f(1+x)+f(−x)=0.又因为y=f(x)为偶函数,所以f(−x)=f(x),所以f(1+x)+f(x)=0,即f(1+x)=
　−f(x),所以f($\frac{3}{2}$)=−f($\frac{1}{2}$)=0.故选B.

已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，若 $ f(1 - x) $ 为奇函数，$ f(x - 1) $ 为偶函数. 设 $ f(-2)=1 $，则 $ f(2)= $(A)

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： A　因为f(x−1)为偶函数,所以f(−x−1)=f(x−1),所以f(x)的图象关于直线x=−1对称,所以f(−2)=f
(0)=1.因为f(1 一x)为奇函数，所以f(1+x)=−f(1−x),所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f
(2)=−f
(0)=−1.故选A.

典例 2 已知函数 $ f(x)=\frac{ax + b}{1 + x^{2}} $ 是定义在 $ (-1,1) $ 上的奇函数，且 $ f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5} $.
(1)确定函数 $ f(x) $ 的解析式；
(2)用定义法证明 $ f(x) $ 在 $ (-1,1) $ 上是增函数；
(3)解不等式：$ f(t - 1)+f(t)＜0 $.
听课笔记：

答案： 解:
(1)根据题意得$\begin{cases} f(0) = 0, \\ f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{5}, \end{cases}$
　即$\begin{cases} \frac{a × 0 + b}{1 + 0^2} = 0, \\ \frac{\frac{a}{2} + b}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{5}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = 0, \end{cases}$ 所以$f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$．
(2)证明:任取x₁,x₂∈(−1,1),且令x₁＜x₂,
　则f(x₁)−f(x₂)=$\frac{x_1}{1 + x_1^2} - \frac{x_2}{1 + x_2^2} = \frac{(x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2)}{(1 + x_1^2)(1 + x_2^2)}$．
　因为−1＜x₁＜x₂＜1,
　所以x₁−x₂＜0,1+x₁²＞0,1+x₂²＞0,1−x₁x₂＞0,
　所以f(x₁)−f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),
　所以f(x)在(−1,1)上是增函数.
(3)f(t−1)＜−f(t)=f(−t).
　因为f(x)在(−1,1)上是增函数,
　所以$\begin{cases} -1 ＜ t - 1 ＜ 1, \\ -1 ＜ -t ＜ 1, \\ t - 1 ＜ -t, \end{cases}$ 解得$0 ＜ t ＜ \frac{1}{2}$．
　所以不等式的解集为$\left\{ t \mid 0 ＜ t ＜ \frac{1}{2} \right\}$．

已知函数 $ f(x)=\frac{mx^{2}+2}{3x + n} $ 是奇函数，且 $ f(2)=\frac{5}{3} $.
(1)求实数 $ m $ 和 $ n $ 的值；
(2)求函数 $ f(x) $ 在区间 $[-2,-1] $ 上的最值.

答案： 解:
(1)由f(x)是奇函数,可得f(−x)=−f(x),
　即$\frac{m x^2 + 2}{-3x + n} = -\frac{m x^2 + 2}{3x + n} = \frac{m x^2 + 2}{-3x - n}$,
　可得−3x+n=−3x−n,解得n=0.
　又f
(2)=$\frac{5}{3}$,即$\frac{4m + 2}{6} = \frac{5}{3}$,解得m=2.
　所以实数m和n的值分别是2和0.
(2)由
(1)知f(x)=$\frac{2x²+2}{3x}=\frac{2}{3}(x+\frac{1}{x})$,任取x₁,x₂∈[−2,−1],且x₁＜x₂,
　则f(x₁)−f(x₂)=$\frac{2}{3}(x₁ - x₂)(1 - \frac{1}{x_1 x_2})=\frac{2}{3}×\frac{(x_1 - x_2)(x_1 x_2 - 1)}{x_1 x_2}$.
　因为−2≤x₁＜x₂≤−1,
　所以x₁−x₂＜0,x₁x₂＞1,x₁x₂−1＞0,
　所以f(x₁)−f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),
　所以函数f(x)在[−2,−1]上单调递增,
　所以f(x)ₘₐₓ=f(−1)=−$\frac{4}{3}$,f(x)ₘᵢₙ=f(−2)=−$\frac{5}{3}$.