《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

(2) 已知 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0)$，则 $3a + 2b$ 的最小值为 (C)

A.$8$
B.$16$
C.$24$
D.$32$
听课笔记：

答案： （2）C $3a + 2b=(3a + 2b)(\frac{2}{a}+\frac{3}{b})=12+\frac{9a}{b}+\frac{4b}{a}\geq12 + 2\sqrt{36}=24$，当且仅当$\frac{9a}{b}=\frac{4b}{a}$，即$a = 4$，$b = 6$时，等号成立，所以$3a + 2b$的最小值为24。故选C。

对点练 $4$.
(1) 已知正实数 $m, n$ 满足 $m + 2n = 1$，则 $\frac{4}{m} + \frac{n + 2}{n}$ 的最小值为17$\underline{\hspace{5em}}$.
(2) 已知正实数 $x, y$ 满足 $xy = 4x + y$，则 $x + y$ 的最小值为9$\underline{\hspace{5em}}$.

答案： 对点练4.（1）17 （2）9 （1）$\frac{4}{m}+\frac{n + 2}{n}=\frac{4}{m}+\frac{2}{n}+1=(m + 2n)·(\frac{4}{m}+\frac{2}{n})+1 = 8+\frac{8n}{m}+\frac{2m}{n}+1\geq9 + 2\sqrt{\frac{8n}{m}×\frac{2m}{n}} = 17$，当且仅当$\frac{8n}{m}=\frac{2m}{n}$，即$m=\frac{1}{2}$，$n=\frac{1}{4}$时，等号成立，所以$\frac{4}{m}+\frac{n + 2}{n}$的最小值为17。
（2）由已知可得$\frac{4x + y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，且$x$，$y$为正实数，所以$x + y=(x + y)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})=5+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}\geq5 + 2\sqrt{\frac{4x}{y}·\frac{y}{x}} = 9$，当且仅当$y = 2x$，即$x = 3$，$y = 6$时，等号成立，因此$x + y$的最小值为9。

角度 $4$ 拆裂项法求最值
典例 $5$ 若 $x ＞ 1$，则函数 $y = \frac{x^2}{x - 1}$ 的最小值为4$\underline{\hspace{5em}}$.
听课笔记：

答案： 典例5 4 因为$x\gt1$，即$x - 1\gt0$，所以$y=\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{x^{2}-1 + 1}{x - 1}=x + 1+\frac{1}{x - 1}=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+2\geq2\sqrt{(x - 1)·\frac{1}{x - 1}}+2 = 4$，当且仅当$\frac{1}{x - 1}=x - 1$，即$x = 2$时，等号成立，所以$y=\frac{x^{2}}{x - 1}$的最小值为4。

对点练 $5$. 已知 $t ＞ 0$，则 $y = \frac{t^2 - 4t + 1}{t}$ 的最小值为-2$\underline{\hspace{5em}}$.

答案： 对点练5. -2 依题意得，$y = t+\frac{1}{t}-4\geq2\sqrt{t·\frac{1}{t}}-4 = -2$，当且仅当$t=\frac{1}{t}$，即$t = 1$时等号成立，即函数$y=\frac{t^{2}-4t + 1}{t}(t\gt0)$的最小值是-2。

(1)(多选)设正实数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$，则 (ACD)

A.$\sqrt{ab}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{2a + b}$ 有最小值 $3$
C.$a^2 + b^2$ 有最小值 $\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$

答案： （1）ACD 对于A，由基本不等式可得$\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故A正确；对于B，由$\frac{2}{\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}}\leq\frac{(a + 2b)+(2a + b)}{2}=\frac{3(a + b)}{2}=\frac{3}{2}$，得$\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}\geq\frac{4}{3}$，当且仅当$a + 2b = 2a + b$，即$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故B错误；对于C，由$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，得$a^{2}+b^{2}\geq\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故C正确；对于D，由$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a + b}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故D正确。故选ACD。

(2) 当 $\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{5}{2}$ 时，函数 $y = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{5 - 2x}$ 的最大值为$2\sqrt{2}$$\underline{\hspace{5em}}$.
听课笔记：

答案： （2）$2\sqrt{2}$ 由$\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$，得$a + b\leq2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$，
则$y=\sqrt{2x - 1}+\sqrt{5 - 2x}\leq2\sqrt{\frac{2x - 1 + 5 - 2x}{2}} = 2\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{2x - 1}=\sqrt{5 - 2x}$，即$x=\frac{3}{2}$时等号成立。