《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例3 已知$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$，不等式$x^2 + mx + 4 ＞ 2m + 4x$恒成立，求实数$x$的取值范围.
听课笔记：

答案： 解：因为$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$时，不等式$x^2 + mx + 4 \gt 2m + 4x$恒成立， 则$m(x - 2) + (x - 2)^2 \gt 0$恒成立。 当$x = 2$时，不等式不成立，故$x \neq 2$。 令$y = m(x - 2) + (x - 2)^2$，$m$为自变量， 且$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$，则其函数图象是一条线段， 故对$\frac{1}{2} \leq m \leq 3$时，$y \gt 0$恒成立等价于 $\begin{cases}\frac{1}{2}(x - 2) + (x - 2)^2 \gt 0, \\ 3(x - 2) + (x - 2)^2 \gt 0, \end{cases}$解得$x \gt 2$，或$x \lt -1$。 所以实数$x$的取值范围是$\{x \mid x \gt 2$，或$x \lt -1\}$。

对点练3 对任意$1 \leq m \leq 2$，函数$y = mx^2 - mx + m - 6$的值恒小于$0$，求实数$x$的取值范围.

答案： 解：$y = mx^2 - mx + m - 6 = (x^2 - x + 1) · m - 6$，依题意知，当$1 \leq m \leq 2$时，$y \lt 0$恒成立。 因为$x^2 - x + 1 \gt 0$， 所以$y$是关于$m$的一次函数，且在$1 \leq m \leq 2$上随$m$的增大而增大， 所以$y \lt 0$对$1 \leq m \leq 2$恒成立等价于$y$的最大值小于$0$，即$2(x^2 - x + 1) - 6 \lt 0$， 则$x^2 - x - 2 \lt 0$，解得$-1 \lt x \lt 2$。 因此$x$的取值范围是$\{x \mid -1 \lt x \lt 2\}$。

典例4 若关于$x$的不等式$2x^2 - 8x + 6 - a \geq 0$在$1 \leq x \leq 4$时有解，则实数$a$的取值范围是(A)

A.$a \leq 6$
B.$a \geq -2$
C.$a \geq 6$
D.$a \leq -2$

答案： A

对点练4 当$1 ＜ x ＜ 2$时，关于$x$的不等式$x^2 + mx + 4 ＞ 0$有解，则实数$m$的取值范围为\{m|m＞-5\}.

答案： $\{m \mid m \gt -5\}$

1. 若关于$x$的一元二次不等式$x^2 - tx + 4 \geq 0$在$x \geq 1$时恒成立，则实数$t$的取值范围是(C)

A.$t \leq 2$
B.$t \geq 2$
C.$t \leq 4$
D.$t \geq 4$

答案： C

2. (新定义)在$\mathbf{R}$上定义运算：$x \otimes y = x(1 - y)$，若$\exists x \in \mathbf{R}$使得$(x - a) \otimes (x + a) ＞ 1$成立，则实数$a$的取值范围是(A)

A.$a ＜ -\frac{1}{2}$，或$a ＞ \frac{3}{2}$
B.$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$
C.$-\frac{3}{2} ＜ a ＜ \frac{1}{2}$
D.$a ＜ -\frac{3}{2}$，或$a ＞ \frac{1}{2}$

答案： A

3. 对任意$x$满足$-1 \leq x \leq 2$，不等式$x^2 - 2x + a ＜ 0$成立的必要不充分条件是(C)

A.$a ＜ -3$
B.$a ＜ -4$
C.$a ＜ 0$
D.$a ＞ 0$

答案： C

4. 对于满足$0 \leq p \leq 4$的一切实数，不等式$x^2 + px ＞ 4x + p - 3$恒成立，则实数$x$的取值范围是\{x|x＞3，或x＜-1\}.

答案： $\{x \mid x \gt 3，或x \lt -1\}$