《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 2. 设函数 $ f(x) = \ln(ax^2 + 2x + 1) $，如果函数 $ f(x) $ 的值域为 $ \mathbf{R} $，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 解：因为f(x)的值域为R，所以{y|y = ax² + 2x + 1}⊇(0, +∞)，（也可以说y = ax² + 2x + 1取遍一切正数）
①当a = 0时，y = 2x + 1可以取遍一切正数，符合题意。
②当a≠0时，需$\begin{cases}a ＞ 0, \\ \Delta = 4 - 4a \geq 0, \end{cases}$即0＜a≤1。
综上，实数a的取值范围为[0, 1]。

典例 3 已知函数 $ f(x) = \log_3(9^x + 1) + kx $ 是偶函数.
(1)求实数 $ k $ 的值；
(2)若 $ x \in [0, 1] $ 时，不等式 $ f(x) + x - \log_3(m · 3^x - 1) \geq 0 $ 恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围.
听课笔记：

答案： 解：
(1)由题意知，函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(−1) = f
(1)，即log₃$\frac{10}{9}$−k = log₃10 + k$，解得k = −1$，此时f(x) = log₃(9ˣ + 1)−x = log₃(3ˣ + $\frac{1}{3ˣ}$)，f(−x) = log₃(3⁻ˣ + $\frac{1}{3⁻ˣ}$) = log₃($\frac{1}{3ˣ}$ + 3ˣ) = f(x)成立，所以k = −1。
(2)由题意知，不等式log₃(9ˣ + 1)−log₃(m⋅3ˣ−1)≥0，所以9ˣ + 1≥m⋅3ˣ−1＞0，即x∈[0, 1]时，3ˣ + $\frac{2}{3ˣ}$≥m＞$\frac{1}{3ˣ}$恒成立。则设t = 3ˣ∈[1, 3]，所以(t + $\frac{2}{t}$)ₘᵢₙ≥m＞($\frac{1}{t}$)ₘₐₓ，因为t + $\frac{2}{t}$≥2√2(当且仅当t = $\frac{2}{t}$，即t = √2∈[1, 3]时取等号)，$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{t}$≤1，所以1＜m≤2√2。故实数m的取值范围为(1, 2√2]。

对点练 3. 已知函数 $ f(x) = \lg(2 + x) + \lg(2 - x) $.
(1)判断函数 $ y = f(x) $ 的奇偶性；
(2)若 $ f(m - 2) ＜ f(m) $，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 解：
(1)要使函数f(x)有意义，则$\begin{cases}2 + x ＞ 0, \\ 2 - x ＞ 0, \end{cases}$解得−2＜x＜2。所以函数y = f(x)的定义域为{x|−2＜x＜2}，显然定义域关于原点对称。因为f(−x) = lg(2−x) + lg(2 + x) = f(x)，所以函数y = f(x)为偶函数。
(2)因为函数f(x) = lg(2 + x) + lg(2−x) = lg(4−x²)，由复合函数的单调性可知，当0≤x＜2时，函数y = f(x)单调递减，当−2＜x＜0时，函数y = f(x)单调递增，所以不等式f(m−2)＜f(m)等价于|m−2|＜|m|＜2，又−2＜m−2＜2，−2＜m＜2，解得0＜m＜1。综上所述，实数m的取值范围是(0, 1)。

1. 已知函数 $ f(x) = (x - a)(x - b) $(其中 $ a ＞ b $) 的图象如图所示，则函数 $ g(x) = b + \log_a x $ 的图象大致是(D)

答案： 1. D

2. 若函数 $ f(x) = \lg(x^2 - 2ax - a) $ 在区间 $(-\infty, -3)$ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围为[−$\frac{9}{5}$, +∞).

答案： 2. [−$\frac{9}{5}$, +∞)

3. 设函数 $ f(x) = \ln x + 2^x $，若 $ f(1 - a) - f(a) ＞ 0 $，则实数 $ a $ 的取值范围为(0, $\frac{1}{2}$).

答案： 3. (0, $\frac{1}{2}$)

4. 函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{3}}\left(-3x^2 + x + \frac{5}{4}\right)(0 \leq x \leq \frac{1}{2}) $ 的最大值为0.

答案： 4. 0