《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1（链教材 P105 例 1）(1)化简下列各式：
①$\sqrt[5]{( - 2)^5} + (\sqrt[5]{ - 2})^5$；
②$\sqrt[6]{( - 2)^6} + (\sqrt[6]{2})^6$；
③$\sqrt[4]{(x + 2)^4}$.
(2) 已知$- 3 ＜ x ＜ 3$，求$\sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$的值.
听课笔记：
[变式探究]（变条件）若将本例(2)中的“$- 3 ＜ x ＜ 3$”变为“$x \leq - 3$”，则结果又是什么？

答案：
(1)①原式$= (-2) + (-2) = -4$.
②原式$= |-2| + 2 = 2 + 2 = 4$.
③原式$= |x + 2| = \begin{cases} x + 2, & x \geq -2, \\ -x - 2, & x ＜ -2. \end{cases}$
(2)原式$= \sqrt{(x - 1)^2} - \sqrt{(x + 3)^2}$
$= |x - 1| - |x + 3|$.
因为$-3 ＜ x ＜ 3$，所以当$-3 ＜ x ＜ 1$时，
原式$= -(x - 1) - (x + 3) = -2x - 2$；
当$1 \leq x ＜ 3$时，原式$= (x - 1) - (x + 3) = -4$.
所以原式$= \begin{cases} -2x - 2, & -3 ＜ x ＜ 1, \\ -4, & 1 \leq x ＜ 3. \end{cases}$
[变式探究] 解：原式$= \sqrt{(x - 1)^2} - \sqrt{(x + 3)^2} = |x - 1| - |x + 3|$.
因为$x \leq -3$，所以$x - 1 ＜ 0$，$x + 3 \leq 0$，
所以原式$= -(x - 1) + (x + 3) = 4$.

对点练 1. (1)化简:$\sqrt[ ]{ - 8a^3} =$ (A)

A.$- 2a\sqrt[ ]{ - 2a}$
B.$2a\sqrt[ ]{2a}$
C.$2a\sqrt[ ]{ - 2a}$
D.$- 2a\sqrt[ ]{2a}$

答案：
(1)A

(2) 当$\sqrt{2 - x}$有意义时，化简$\sqrt{x^2 - 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} =$$-1$.

答案：
(2)$-1$

? 问题导思
（阅读教材 P105－107，完成探究问题 3）
问题 3. 观察下列各式，你能得出什么结论？
①$\sqrt[5]{2^{10}} = \sqrt[5]{(2^2)^5} = 2^2 = 2^{\frac{10}{5}}$；
②$\sqrt[3]{4^{12}} = \sqrt[3]{(4^4)^3} = 4^4 = 4^{\frac{12}{3}}$.

答案： 3.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.

1. 分数指数幂的意义$(a ＞ 0,m,n \in \mathbf{N}^* ,n ＞ 1)$

2. 有理数指数幂的运算性质
(1)$a^r a^s =$$a^{r + s}$$(a ＞ 0,r,s \in \mathbf{Q})$；
(2)$(a^r)^s =$$a^{rs}$$(a ＞ 0,r,s \in \mathbf{Q})$；
(3)$(ab)^r = a^r b^r(a ＞ 0,b ＞ 0,r \in \mathbf{Q})$.

答案： 1.$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ 没有 2.
(1)$a^{r + s}$
(2)$a^{rs}$

[微思考] 1. 负数存在分数指数幂吗？
2. 已知实数$\alpha,a,b$，且$a ＞ 0,b ＞ 0$，此时$(\frac{a}{b})^{\alpha}$与$\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}$是否相等？
[微提醒] (1) 分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$不可理解为$\frac{m}{n}$个$a$相乘，它是根式的一种写法. (2) 正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.

答案： [微思考] 1.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如$(-5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-5)^2}$有意义，但$(-5)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(-5)^5}$没有意义.
2.相等.$\left( \frac{a}{b} \right)^a = (ab^{-1})^a = a^a b^{-a} = a^a (b^a)^{-1} = \frac{a^a}{b^a}$.