《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1
（链教材 P186T15）已知$\tan \alpha = - 4$，求下列各式的值：
(1)$\sin ^{2}\alpha$；(2)$\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$；(3)$3\sin \alpha \cos \alpha$；
(4)$\dfrac {4\sin \alpha -2\cos \alpha }{5\cos \alpha +3\sin \alpha }$。
听课笔记：

答案： 解：
(1)$\sin^{2}\alpha = \frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} = \frac{\tan^{2}\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1} = \frac{(-4)^{2}}{(-4)^{2} + 1} = \frac{16}{17}$，
(2)$\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = \frac{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha} = \frac{1 - \tan^{2}\alpha}{1 + \tan^{2}\alpha} = \frac{1 - (-4)^{2}}{1 + (-4)^{2} } = -\frac{15}{17}$，
(3)$3\sin\alpha\cos\alpha = \frac{3\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} = \frac{3\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1} = \frac{3×(-4)}{(-4)^{2} + 1} = -\frac{12}{17}$，
(4)$\frac{4\sin\alpha - 2\cos\alpha}{5\cos\alpha + 3\sin\alpha} = \frac{4\tan\alpha - 2}{5 + 3\tan\alpha} = \frac{4×(-4) - 2}{5 + 3×(-4)} = \frac{18}{7}$。

已知$\dfrac {\sin \alpha -3\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }=-1$，求下列各式的值：
(1)$\tan \alpha$；(2)$\sin ^{2}\alpha +\sin \alpha \cos \alpha +1$。
类型二 $\sin \theta \pm \cos \theta$，$\sin \theta \cos \theta$之间的关系

答案： 解：
(1)因为$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = -1$，所以$\frac{\tan\alpha - 3}{\tan\alpha + 1} = -1$，
解得$\tan\alpha = 1$。
(2)$\sin^{2}\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + 1 = \frac{\sin^{2}\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + 1}{1} = \frac{\sin^{2}\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} = \frac{2\sin^{2}\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} = \frac{2\tan^{2}\alpha + \tan\alpha + 1}{\tan^{2}\alpha + 1} = 2$。

典例 2
已知$\sin \theta +\cos \theta =\dfrac {1}{2}(0 ＜ \theta ＜ \pi )$，求$\sin \theta \cos \theta$和$\sin \theta -\cos \theta$的值。
听课笔记：

答案： 解：因为$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}(0 ＜ \theta ＜ \pi)$，所以$(\sin\theta + \cos\theta)^{2} = \frac{1}{4}$，
即$\sin^{2}\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^{2}\theta = \frac{1}{4}$，
所以$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$。又$0 ＜ \theta ＜ \pi$，所以$\sin\theta ＞ 0$，$\cos\theta ＜ 0$，
所以$\sin\theta - \cos\theta ＞ 0$，所以$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{(\sin\theta + \cos\theta)^{2} - 4\sin\theta\cos\theta} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2} - 4×\left(-\frac{3}{8}\right)} = \frac{\sqrt{7}}{2}$。