《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练3
已知$a＞0$，求证：$a + \frac{1}{a}\geq 2$。

答案： 对点练3.证明：法一：利用$ a^{2} + b^{2}\geqslant 2ab $。因为$ a ＞ 0 $，
所以$ a + \dfrac{1}{a} = (\sqrt{a})^{2} + \left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}\geqslant 2\sqrt{a}· \dfrac{1}{\sqrt{a}} = 2 $，
当且仅当$ a = 1 $时，等号成立。
法二：因为$ a + \dfrac{1}{a} - 2 = (\sqrt{a})^{2} + \left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2} - 2 $
$ = \left(\sqrt{a} - \dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}\geqslant 0 $，所以$ a + \dfrac{1}{a}\geqslant 2 $。

1. 某高速公路要求行驶车辆的速度$v$的最大值为120km/h，同一车道上的车间距$d$不得小于10m，用不等式表示为(A)

A.$v\leq 120$km/h且$d\geq 10$m
B.$v\leq 120$km/h，或$d\geq 10$m
C.$v\leq 120$km/h
D.$d\geq 10$m

答案： 1.A

2. 已知$a₁$，$a₂\in\{x|0＜x＜1\}$，记$M = a₁a₂$，$N = a₁ + a₂ - 1$，则$M$与$N$的大小关系是(B)

A.$M＜N$
B.$M＞N$
C.$M = N$
D.不确定

答案： 2.B

3. 不等式$a² + 4\geq 4a$中，等号成立的条件为$ a = 2 $。

答案： 3.$ a = 2 $

4. 若实数$a＞b$，则$a² - ab$$ ＞ $$ba - b²$。(填“＞”或“＜”)

答案： 4.$ ＞ $

? 问题导思
（阅读教材 P40—42，完成探究问题 1、2、3）
问题 1. 如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？
问题 2. 如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？你能提炼出什么不等关系？
问题 3. 若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的不等关系如何用符号语言表述？

答案： 1. 甲比丙高.如果$a ＞ b$，$b ＞ c$，那么$a ＞ c$.
2. 甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收入高.若$a ＞ b$，则$a - c ＞ b - c$.
3. 若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则$a + c ＞ b + d$.

新知 构建
不等式的基本性质

续表

［微提醒］(1)性质 3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据.(2)性质 4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(3)性质 5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.(4)性质 7(即可乘方性)的拓展：$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} ＞ \sqrt[n]{b} (n \in \mathbb{N}, n \geq 2)$.

答案： $b ＜ a$ $a ＞ c$ $a + c ＞ b + c$ $ac ＞ bc$ $ac ＜ bc$ $a + c ＞ b + d$ $ac ＞ bd$ $a^{n}＞b^{n}$