《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 函数$f(x)=3^{x}-1$的零点为 (C)

A.$(0,0)$
B.$(1,1)$
C.0
D.1

答案： 1. C

2. 函数$f(x)=\log_{2}x + x - 2$的零点所在的区间是 (B)

A.$(0,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,4)$

答案： 2. B

3. 函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2, & x \leq 0, \\2x - 6, & x ＞ 0\end{cases}$的零点个数是 ( )

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 3. C

4. 已知函数$f(x)=x - (\frac{1}{2})^{x}+m$在$(-1,1)$上存在零点，则实数$m$的取值范围是$\left(-\frac{1}{2},3\right)$.

答案： 4. $ \left(-\frac{1}{2},3\right) $

?问题导思
（阅读教材 P144-145，完成探究问题 1）
问题 1. 有 16 个大小相同, 颜色相同的金币, 其中有 15 个金币是真的, 有一个质量稍轻的是假的. 用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币?

答案： 4次.
第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；
第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；
第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；
第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.

新知 构建
二分法

[微提醒] 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点 (曲线通过零点, 且在零点两侧函数值异号), 对函数的不变号零点 (曲线通过零点, 且
在零点两侧函数值不异号) 不适用. 如求函数 $f(x)=(x-1)^2$ 的零点近似值就不能用二分法.

答案： 连续不断 $ f(a)f(b) ＜ 0 $ 一分为二 逼近零点

典例 1(多选)下列函数图象与 $x$ 轴均有交点, 能用二分法求函数零点近似值的是 (ABC)

听课笔记：

答案： ABC 根据二分法的定义，知函数 $ f(x) $ 在区间 $[a,b]$ 上的图象连续不断，且 $ f(a)f(b) ＜ 0 $，即函数的零点是变号零点，才能将区间 $[a,b]$ 一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值.故选ABC.

对点练 1. 已知函数 $f(x)$ 的图象如图, 其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(D)


A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3

答案： D 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.